Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cos (x)$

Étape 1

Écrivez $y = \cos (x)$ comme une fonction.

$f (x) = \cos (x)$

Étape 2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \sin (x) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{0}{- 1}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 8

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 9

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 10

La solution de l’équation est $x = 0$ .

$x = 0, π$

Étape 11

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \cos (0)$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 12.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 13

$x = 0$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 14

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

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Étape 14.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \cos (0)$

Étape 14.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 14.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (0) = 1$

Étape 14.2.2

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 15

Évaluez la dérivée seconde sur $x = π$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \cos (π)$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 16.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$- - \cos (0)$

Étape 16.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Étape 16.3

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 16.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- - 1$

Étape 16.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1$

Étape 17

$x = π$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = π$ est un minimum local

Étape 18

Déterminez la valeur y quand $x = π$ .

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Étape 18.1

Remplacez la variable $x$ par $π$ dans l’expression.

$f (π) = \cos (π)$

Étape 18.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 18.2.1

$f (π) = - \cos (0)$

Étape 18.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Étape 18.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (π) = - 1$

Étape 18.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 19

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \cos (x)$ .

$(0, 1)$ est un maximum local

$(π, - 1)$ est un minimum local

Étape 20