Calcul infinitésimal Exemples

$y = - \cos (4 x - π)$

Étape 1

Écrivez $y = - \cos (4 x - π)$ comme une fonction.

$f (x) = - \cos (4 x - π)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (4 x - π)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$ .

$- \frac{d}{d x} [\cos (4 x - π)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 4 x - π$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - π$ .

$- (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Étape 2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - π$ .

$- (- \sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π])$

Étape 2.3.2

Multipliez $\sin (4 x - π)$ par $1$ .

$\sin (4 x - π) \frac{d}{d x} [4 x - π]$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$\sin (4 x - π) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sin (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Étape 2.3.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\sin (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} [- π])$

Étape 2.3.7

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\sin (4 x - π) (4 + 0)$

Étape 2.3.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.8.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\sin (4 x - π) \cdot 4$

Étape 2.3.8.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sin (4 x - π)$ .

$4 \sin (4 x - π)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 \sin (4 x - π)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\sin (4 x - π)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\sin (4 x - π))$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x - π$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - π$ .

$f'' (x) = 4 (\cos (4 x - π) \frac{d}{d x} (4 x - π))$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (\frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 3.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 3.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + \frac{d}{d x} (- π))$

Étape 3.3.5

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) (4 + 0)$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$f'' (x) = 4 \cos (4 x - π) \cdot 4$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$f'' (x) = 16 \cos (4 x - π)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$4 \sin (4 x - π) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $4 \sin (4 x - π) = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $4 \sin (4 x - π) = 0$ par $4$ .

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \sin (4 x - π)}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 5.2.1.2

Divisez $\sin (4 x - π)$ par $1$ .

$\sin (4 x - π) = \frac{0}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$\sin (4 x - π) = 0$

Étape 6

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$4 x - π = \arcsin (0)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$4 x - π = 0$

Étape 8

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = π$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $4 x = π$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $4 x = π$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{π}{4}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 10

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$4 x - π = π - 0$

Étape 11

Résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Soustrayez $0$ de $π$ .

$4 x - π = π$

Étape 11.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 11.2.1

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = π + π$

Étape 11.2.2

Additionnez $π$ et $π$ .

$4 x = 2 π$

Étape 11.3

Divisez chaque terme dans $4 x = 2 π$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 11.3.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 2 π$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Étape 11.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{2 π}{4}$

Étape 11.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 π}{4}$

Étape 11.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 11.3.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 11.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{4}$

Étape 11.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 11.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Étape 11.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{π}{2}$

Étape 12

La solution de l’équation est $4 x - π = 0$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{π}{2}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{4}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$16 \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.1.1

Annulez le facteur commun.

$16 \cos (4 \frac{π}{4} - π)$

Étape 14.1.2

Réécrivez l’expression.

$16 \cos (π - π)$

Étape 14.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$16 \cos (0)$

Étape 14.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$16 \cdot 1$

Étape 14.4

Multipliez $16$ par $1$ .

$16$

Étape 15

$x = \frac{π}{4}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{4}$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{4}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 16.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (4 (\frac{π}{4}) - π)$

Étape 16.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (π - π)$

Étape 16.2.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$f (\frac{π}{4}) = - \cos (0)$

Étape 16.2.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1 \cdot 1$

Étape 16.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{4}) = - 1$

Étape 16.2.5

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{π}{2}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$16 \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Étape 18

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 18.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 18.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$16 \cos (2 (2) \frac{π}{2} - π)$

Étape 18.1.2

Annulez le facteur commun.

$16 \cos (2 \cdot 2 \frac{π}{2} - π)$

Étape 18.1.3

Réécrivez l’expression.

$16 \cos (2 π - π)$

Étape 18.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$16 \cos (π)$

Étape 18.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$16 (- \cos (0))$

Étape 18.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$16 (- 1 \cdot 1)$

Étape 18.5

Multipliez $16 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 18.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$16 \cdot - 1$

Étape 18.5.2

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$- 16$

Étape 19

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{π}{2}$ est un maximum local

Étape 20

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 20.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{π}{2}$ dans l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (4 (\frac{π}{2}) - π)$

Étape 20.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 20.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 20.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 (2) (\frac{π}{2}) - π)$

Étape 20.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 \cdot (2 (\frac{π}{2})) - π)$

Étape 20.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (2 π - π)$

Étape 20.2.2

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$f (\frac{π}{2}) = - \cos (π)$

Étape 20.2.3

$f (\frac{π}{2}) = \cos (0)$

Étape 20.2.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - (- 1 \cdot 1)$

Étape 20.2.5

Multipliez $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 20.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Étape 20.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Étape 20.2.6

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 21

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - \cos (4 x - π)$ .

$(\frac{π}{4}, - 1)$ est un minimum local

$(\frac{π}{2}, 1)$ est un maximum local

Étape 22