Calcul infinitésimal Exemples

$y = 84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$

Étape 1

Écrivez $y = 84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$ comme une fonction.

$f (p) = 84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [84 p x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d p} [84 p x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d p} [84 p x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $84 x^{2}$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $84 p x^{2}$ par rapport à $p$ est $84 x^{2} \frac{d}{d p} [p]$ .

$84 x^{2} \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$84 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $84$ par $1$ .

$84 x^{2} + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2 x^{3}$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- 2 p^{2} x^{3}$ par rapport à $p$ est $- 2 x^{3} \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$84 x^{2} - 2 x^{3} \frac{d}{d p} [p^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$84 x^{2} - 2 x^{3} (2 p)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$84 x^{2} - 4 x^{3} p$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $84 x^{2} - 4 x^{3} p$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [84 x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 4 x^{3} p]$ .

$f'' (p) = \frac{d}{d p} (84 x^{2}) + \frac{d}{d p} (- 4 x^{3} p)$

Étape 3.1.2

Comme $84 x^{2}$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $84 x^{2}$ par rapport à $p$ est $0$ .

$f'' (p) = 0 + \frac{d}{d p} (- 4 x^{3} p)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d p} [- 4 x^{3} p]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 4 x^{3}$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- 4 x^{3} p$ par rapport à $p$ est $- 4 x^{3} \frac{d}{d p} [p]$ .

$f'' (p) = 0 - 4 x^{3} \frac{d}{d p} p$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (p) = 0 - 4 x^{3} \cdot 1$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (p) = 0 - 4 x^{3}$

Étape 3.3

Soustrayez $4 x^{3}$ de $0$ .

$f'' (p) = - 4 x^{3}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$84 x^{2} - 4 x^{3} p = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $84 p x^{2} - 2 p^{2} x^{3}$ par rapport à $p$ est $\frac{d}{d p} [84 p x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d p} [84 p x^{2}] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d p} [84 p x^{2}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $84 x^{2}$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $84 p x^{2}$ par rapport à $p$ est $84 x^{2} \frac{d}{d p} [p]$ .

$84 x^{2} \frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Étape 5.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$84 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Étape 5.1.2.3

Multipliez $84$ par $1$ .

$84 x^{2} + \frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d p} [- 2 p^{2} x^{3}]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $- 2 x^{3}$ est constant par rapport à $p$ , la dérivée de $- 2 p^{2} x^{3}$ par rapport à $p$ est $- 2 x^{3} \frac{d}{d p} [p^{2}]$ .

$84 x^{2} - 2 x^{3} \frac{d}{d p} [p^{2}]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ est $n p^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$84 x^{2} - 2 x^{3} (2 p)$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (p) = 84 x^{2} - 4 x^{3} p$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (p)$ par rapport à $p$ est $84 x^{2} - 4 x^{3} p$ .

$84 x^{2} - 4 x^{3} p$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $84 x^{2} - 4 x^{3} p = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$84 x^{2} - 4 x^{3} p = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $84 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{3} p = - 84 x^{2}$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{3} p = - 84 x^{2}$ par $- 4 x^{3}$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{3} p = - 84 x^{2}$ par $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3} p}{- 4 x^{3}} = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x^{3} p}{- 4 x^{3}} = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Étape 6.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{3} p}{x^{3}} = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 6.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{3} p}{x^{3}} = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Étape 6.3.2.2.2

Divisez $p$ par $1$ .

$p = \frac{- 84 x^{2}}{- 4 x^{3}}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 84$ et $- 4$ .

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Étape 6.3.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 84 x^{2}$ .

$p = \frac{- 4 (21 x^{2})}{- 4 x^{3}}$

Étape 6.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$p = \frac{- 4 (21 x^{2})}{- 4 (x^{3})}$

Étape 6.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$p = \frac{- 4 (21 x^{2})}{- 4 x^{3}}$

Étape 6.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$p = \frac{21 x^{2}}{x^{3}}$

Étape 6.3.3.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 6.3.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $21 x^{2}$ .

$p = \frac{x^{2} \cdot 21}{x^{3}}$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.3.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$p = \frac{x^{2} \cdot 21}{x^{2} x}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$p = \frac{x^{2} \cdot 21}{x^{2} x}$

Étape 6.3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$p = \frac{21}{x}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$p = \frac{21}{x}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $p = \frac{21}{x}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 4 x^{3}$

Étape 10

Comme le test de la dérivée première a échoué, il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 11