Calcul infinitésimal Exemples

$y = \cot (12 π x - 3 x)$

Étape 1

Écrivez $y = \cot (12 π x - 3 x)$ comme une fonction.

$f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 12 π x - 3 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $12 π x - 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $12 π x - 3 x$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} [12 π x - 3 x]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 π x - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.2.2

Comme $12 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 π x$ par rapport à $x$ est $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.2.4

Multipliez $12$ par $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

Étape 2.2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Étape 2.2.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Comme $- (12 π - 3)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ par rapport à $x$ est $- (12 π - 3) \frac{d}{d x} [\csc^{2} (12 π x - 3 x)]$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) \frac{d}{d x} \csc^{2} (12 π x - 3 x)$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \csc (12 π x - 3 x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 u_{1} \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\csc (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = - (12 π - 3) (2 \csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Étape 3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (\csc (12 π x - 3 x)))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \csc (x)$ et $g (x) = 12 π x - 3 x$ .

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Étape 3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d u (2)} (\csc (u_{2})) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Étape 3.4.2

La dérivée de $\csc (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Étape 3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $12 π x - 3 x$ .

$f'' (x) = - 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (- \csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Étape 3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc (12 π x - 3 x) (\csc (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Étape 3.6

Élevez $\csc (12 π x - 3 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Étape 3.7

Élevez $\csc (12 π x - 3 x)$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) (\csc (12 π x - 3 x) \csc (12 π x - 3 x)) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Étape 3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) {\csc (12 π x - 3 x)}^{1 + 1} (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Étape 3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) (\cot (12 π x - 3 x) \frac{d}{d x} (12 π x - 3 x))$

Étape 3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $12 π x - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [12 π x] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (\frac{d}{d x} (12 π x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Étape 3.11

Comme $12 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 π x$ par rapport à $x$ est $12 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Étape 3.13

Multipliez $12$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π + \frac{d}{d x} (- 3 x))$

Étape 3.14

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \frac{d}{d x} x)$

Étape 3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3 \cdot 1)$

Étape 3.16

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f'' (x) = 2 (12 π - 3) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$

Étape 3.17

Élevez $12 π - 3$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Étape 3.18

Élevez $12 π - 3$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 2 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Étape 3.19

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{1 + 1} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Étape 3.20

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$

Étape 3.21

Réorganisez les facteurs de $2 {(12 π - 3)}^{2} \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cot (12 π x - 3 x)$ .

$f'' (x) = 2 \csc^{2} (12 π x - 3 x) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π x - 3 x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ par $- 12 π + 3$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3) = 0$ par $- 12 π + 3$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun à $12 π - 3$ et $- 12 π + 3$ .

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Étape 5.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (12 π - 3)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{- 12 π + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 π$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π) + 3 (1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 4 π) + 3 (1)$ .

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1))}{3 (- 4 π + 1)} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (4 π - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun à $4 π - 1$ et $- 4 π + 1$ .

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Étape 5.2.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $4 π$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1)}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.2.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π) - 1 (1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (- 4 π) - 1 (1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.2.4

Réécrivez $- (- 4 π + 1)$ comme $- 1 (- 4 π + 1)$ .

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.2.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \csc^{2} (12 π x - 3 x) (- 1 (- 4 π + 1))}{- 4 π + 1} = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.2.6

Divisez $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ par $1$ .

$- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1 = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.3

Multipliez $- \csc^{2} (12 π x - 3 x) \cdot - 1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $\csc^{2} (12 π x - 3 x)$ par $1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 12 π + 3}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $- 12 π + 3$ .

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Étape 5.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{- 12 π + 3}$

Étape 5.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 12 π$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π) + 3}$

Étape 5.3.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π) + 3 \cdot 1}$

Étape 5.3.1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (- 4 π) + 3 (1)$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 (0)}{3 (- 4 π + 1)}$

Étape 5.3.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{3 \cdot 0}{3 (- 4 π + 1)}$

Étape 5.3.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = \frac{0}{- 4 π + 1}$

Étape 5.3.2

Divisez $0$ par $- 4 π + 1$ .

$\csc^{2} (12 π x - 3 x) = 0$

Étape 6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0}$

Étape 7

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 7.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\csc (12 π x - 3 x) = \pm 0$

Étape 7.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$\csc (12 π x - 3 x) = 0$

Étape 8

La plage de la cosécante est $y \leq - 1$ et $y \geq 1$ . Comme $0$ n’est pas sur cette plage, il n’y a pas de solution.

Aucune solution

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x =$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$2 \csc^{2} (12 π - 3) {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Évaluez $\csc (12 π - 3)$ .

$2 {(- 7.08616739)}^{2} {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Étape 10.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.1

Élevez $- 7.08616739$ à la puissance $2$ .

$2 \cdot 50.21376836 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Étape 10.2.2

Multipliez $2$ par $50.21376836$ .

$100.42753672 {(12 π - 3)}^{2} \cot (12 π - 3)$

Étape 10.2.3

Réécrivez ${(12 π - 3)}^{2}$ comme $(12 π - 3) (12 π - 3)$ .

$100.42753672 ((12 π - 3) (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.3

Développez $(12 π - 3) (12 π - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 10.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$100.42753672 (12 π (12 π - 3) - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π - 3)) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$100.42753672 (12 π (12 π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 10.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.1.1

Multipliez $12 π (12 π)$ .

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Étape 10.4.1.1.1

Multipliez $12$ par $12$ .

$100.42753672 (144 π π + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.4.1.1.2

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.4.1.1.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$100.42753672 (144 (π^{1} π^{1}) + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.4.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$100.42753672 (144 π^{1 + 1} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.4.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$100.42753672 (144 π^{2} + 12 π \cdot - 3 - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.4.1.2

Multipliez $- 3$ par $12$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 3 (12 π) - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.4.1.3

Multipliez $12$ par $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π - 3 \cdot - 3) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.4.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 36 π - 36 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.4.2

Soustrayez $36 π$ de $- 36 π$ .

$100.42753672 (144 π^{2} - 72 π + 9) \cot (12 π - 3)$

Étape 10.5

Multipliez $100.42753672$ par $144 π^{2} - 72 π + 9$ .

$120917.6026078 \cot (12 π - 3)$

Étape 10.6

Évaluez $\cot (12 π - 3)$ .

$120917.6026078 \cdot 7.01525255$

Étape 10.7

Multipliez $120917.6026078$ par $7.01525255$ .

$848267.52020773$

Étape 11

$x =$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x =$ est un minimum local

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \cot (12 π x - 3 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ est un minimum local

Étape 13