Calcul infinitésimal Exemples

$y = x (81 - x) (54 - x)$

Étape 1

Écrivez $y = x (81 - x) (54 - x)$ comme une fonction.

$f (x) = x (81 - x) (54 - x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x (81 - x)$ et $g (x) = 54 - x$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $54 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 2.2.2

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $54$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 2.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 2.2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x (81 - x)$ .

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 2.2.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 81 - x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez.

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Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $81 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.2

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

Étape 2.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.4.8.1

Multipliez $81 - x$ par $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

Étape 2.4.8.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Étape 2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5

Associez des termes.

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Étape 2.5.5.1

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.8

Multipliez $- 2$ par $54$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.14

Multipliez $54$ par $81$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

Étape 2.5.5.15

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

Étape 2.5.5.16

Soustrayez $81 x$ de $- 108 x$ .

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

Étape 2.5.5.17

Soustrayez $189 x$ de $- 81 x$ .

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

Étape 2.5.5.18

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 270 x + 4374$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 270 x] + \frac{d}{d x} [4374]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 270 x) + \frac{d}{d x} (4374)$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 270 x]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 270$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 270 x$ par rapport à $x$ est $- 270 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4374)$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4374)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 270$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 + \frac{d}{d x} (4374)$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $4374$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4374$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 270 + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $6 x - 270$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 270$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [54 - x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 5.1.2

Différenciez.

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Étape 5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $54 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) (\frac{d}{d x} [54] + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 5.1.2.2

Comme $54$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $54$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (81 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 5.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$x (81 - x) \frac{d}{d x} [- x] + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 5.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (81 - x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 5.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (81 - x) (- 1 \cdot 1) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 5.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x (81 - x) \cdot - 1 + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 5.1.2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x (81 - x)$ .

$- 1 \cdot (x (81 - x)) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 5.1.2.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) \frac{d}{d x} [x (81 - x)]$

Étape 5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 81 - x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [81 - x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4

Différenciez.

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Étape 5.1.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $81 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.2

Comme $81$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $81$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \frac{d}{d x} [- x] + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- \frac{d}{d x} [x]) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x (- 1 \cdot 1) + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.6

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (x \cdot - 1 + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 1 \cdot x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.6.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + (81 - x) \cdot 1)$

Étape 5.1.4.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.1.4.8.1

Multipliez $81 - x$ par $1$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- x + 81 - x)$

Étape 5.1.4.8.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$- x (81 - x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Étape 5.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x + 81)$

Étape 5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot 81 - x (- x) + (54 - x) (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Étape 5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + (54 - x) \cdot 81$

Étape 5.1.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$- x \cdot 81 - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.5.1

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$- 81 x - x (- x) + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 81 x + 1 x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$- 81 x + x \cdot x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 81 x + x^{1} x + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 81 x + x^{1} x^{1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 81 x + x^{1 + 1} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 81 x + x^{2} + 54 (- 2 x) - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.8

Multipliez $- 2$ par $54$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x - x (- 2 x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.9

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x \cdot x + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.10

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.11

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{1 + 1} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 54 \cdot 81 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.14

Multipliez $54$ par $81$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - x \cdot 81$

Étape 5.1.5.5.15

Multipliez $81$ par $- 1$ .

$- 81 x + x^{2} - 108 x + 2 x^{2} + 4374 - 81 x$

Étape 5.1.5.5.16

Soustrayez $81 x$ de $- 108 x$ .

$- 81 x + x^{2} - 189 x + 2 x^{2} + 4374$

Étape 5.1.5.5.17

Soustrayez $189 x$ de $- 81 x$ .

$x^{2} - 270 x + 2 x^{2} + 4374$

Étape 5.1.5.5.18

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 270 x + 4374$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 270 x + 4374$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 270 x + 4374 = 0$

Étape 6.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 270 x + 4374$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 270 x + 4374 = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 270 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 90 x) + 4374 = 0$

Étape 6.2.3

Factorisez $3$ à partir de $4374$ .

$3 x^{2} + 3 (- 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

Étape 6.2.4

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} + 3 (- 90 x)$ .

$3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458 = 0$

Étape 6.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 90 x) + 3 \cdot 1458$ .

$3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $3 (x^{2} - 90 x + 1458) = 0$ par $3$ .

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (x^{2} - 90 x + 1458)}{3} = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $x^{2} - 90 x + 1458$ par $1$ .

$x^{2} - 90 x + 1458 = \frac{0}{3}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

Divisez $0$ par $3$ .

$x^{2} - 90 x + 1458 = 0$

Étape 6.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 6.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 90$ et $c = 1458$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{90 \pm \sqrt{{(- 90)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1458)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.6.1.1

Élevez $- 90$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

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Étape 6.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.3

Soustrayez $5832$ de $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.4

Réécrivez $2268$ comme $18^{2} \cdot 7$ .

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Étape 6.6.1.4.1

Factorisez $324$ à partir de $2268$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.4.2

Réécrivez $324$ comme $18^{2}$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Étape 6.6.3

Simplifiez $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Étape 6.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.7.1.1

Élevez $- 90$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

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Étape 6.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.3

Soustrayez $5832$ de $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.4

Réécrivez $2268$ comme $18^{2} \cdot 7$ .

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Étape 6.7.1.4.1

Factorisez $324$ à partir de $2268$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.4.2

Réécrivez $324$ comme $18^{2}$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Étape 6.7.3

Simplifiez $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Étape 6.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$

Étape 6.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 6.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.8.1.1

Élevez $- 90$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1458$ .

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Étape 6.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 4 \cdot 1458}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1458$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{8100 - 5832}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.8.1.3

Soustrayez $5832$ de $8100$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{2268}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.8.1.4

Réécrivez $2268$ comme $18^{2} \cdot 7$ .

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Étape 6.8.1.4.1

Factorisez $324$ à partir de $2268$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{324 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.8.1.4.2

Réécrivez $324$ comme $18^{2}$ .

$x = \frac{90 \pm \sqrt{18^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.8.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$

Étape 6.8.3

Simplifiez $\frac{90 \pm 18 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 45 \pm 9 \sqrt{7}$

Étape 6.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$

Étape 6.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}, 45 - 9 \sqrt{7}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (45 + 9 \sqrt{7}) - 270$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cdot 45 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

Étape 10.1.2

Multipliez $6$ par $45$ .

$270 + 6 (9 \sqrt{7}) - 270$

Étape 10.1.3

Multipliez $9$ par $6$ .

$270 + 54 \sqrt{7} - 270$

Étape 10.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 10.2.1

Soustrayez $270$ de $270$ .

$0 + 54 \sqrt{7}$

Étape 10.2.2

Additionnez $0$ et $54 \sqrt{7}$ .

$54 \sqrt{7}$

Étape 11

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 45 + 9 \sqrt{7}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 45 + 9 \sqrt{7}$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $45 + 9 \sqrt{7}$ dans l’expression.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - (45 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez les termes.

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Étape 12.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.1.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.1.2

Soustrayez $45$ de $81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.2

Développez $(45 + 9 \sqrt{7}) (36 - 9 \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 (36 - 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} (36 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.3.1.1

Multipliez $45$ par $36$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (- 9 \sqrt{7}) + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.2

Multipliez $- 9$ par $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} \cdot 36 + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.3

Multipliez $36$ par $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} + 9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.4

Multipliez $9 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ .

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Étape 12.2.3.1.4.1

Multipliez $- 9$ par $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 12.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.1.6

Multipliez $- 81$ par $7$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1620 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.2

Soustrayez $567$ de $1620$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 405 \sqrt{7} + 324 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.3.3

Additionnez $- 405 \sqrt{7}$ et $324 \sqrt{7}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - (45 + 9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 12.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $45$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (9 \sqrt{7}))$

Étape 12.2.4.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - 9 \sqrt{7})$

Étape 12.2.4.2

Soustrayez $45$ de $54$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = (1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$

Étape 12.2.5

Développez $(1053 - 81 \sqrt{7}) (9 - 9 \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 12.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 - 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

Étape 12.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} (9 - 9 \sqrt{7})$

Étape 12.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Étape 12.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 12.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.6.1.1

Multipliez $1053$ par $9$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (- 9 \sqrt{7}) - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Étape 12.2.6.1.2

Multipliez $- 9$ par $1053$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \cdot 9 - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Étape 12.2.6.1.3

Multipliez $9$ par $- 81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$

Étape 12.2.6.1.4

Multipliez $- 81 \sqrt{7} (- 9 \sqrt{7})$ .

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Étape 12.2.6.1.4.1

Multipliez $- 9$ par $- 81$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

Étape 12.2.6.1.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Étape 12.2.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Étape 12.2.6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Étape 12.2.6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

Étape 12.2.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 12.2.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 12.2.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Étape 12.2.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Étape 12.2.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Étape 12.2.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Étape 12.2.6.1.6

Multipliez $729$ par $7$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 9477 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7} + 5103$

Étape 12.2.6.2

Additionnez $9477$ et $5103$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 9477 \sqrt{7} - 729 \sqrt{7}$

Étape 12.2.6.3

Soustrayez $729 \sqrt{7}$ de $- 9477 \sqrt{7}$ .

$f (45 + 9 \sqrt{7}) = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

Étape 12.2.7

La réponse finale est $14580 - 10206 \sqrt{7}$ .

$y = 14580 - 10206 \sqrt{7}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (45 - 9 \sqrt{7}) - 270$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 \cdot 45 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

Étape 14.1.2

Multipliez $6$ par $45$ .

$270 + 6 (- 9 \sqrt{7}) - 270$

Étape 14.1.3

Multipliez $- 9$ par $6$ .

$270 - 54 \sqrt{7} - 270$

Étape 14.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 14.2.1

Soustrayez $270$ de $270$ .

$0 - 54 \sqrt{7}$

Étape 14.2.2

Soustrayez $54 \sqrt{7}$ de $0$ .

$- 54 \sqrt{7}$

Étape 15

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 45 - 9 \sqrt{7}$ est un maximum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 45 - 9 \sqrt{7}$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $45 - 9 \sqrt{7}$ dans l’expression.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - (45 - 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez les termes.

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Étape 16.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 - (- 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.1.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (81 - 45 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.1.2

Soustrayez $45$ de $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.2

Développez $(45 - 9 \sqrt{7}) (36 + 9 \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 16.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 (36 + 9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} (36 + 9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (45 \cdot 36 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 16.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.3.1.1

Multipliez $45$ par $36$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 45 (9 \sqrt{7}) - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.2

Multipliez $9$ par $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} \cdot 36 - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.3

Multipliez $36$ par $- 9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.4

Multipliez $- 9 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ .

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Étape 16.2.3.1.4.1

Multipliez $9$ par $- 9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \sqrt{7} \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 (\sqrt{7} \sqrt{7})) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{1 + 1}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {\sqrt{7}}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

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Étape 16.2.3.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.3.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7^{\frac{2}{2}}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 81 \cdot 7) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.1.6

Multipliez $- 81$ par $7$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1620 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7} - 567) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.2

Soustrayez $567$ de $1620$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 405 \sqrt{7} - 324 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.3.3

Soustrayez $324 \sqrt{7}$ de $405 \sqrt{7}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - (45 - 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 16.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 1 \cdot 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $45$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 - (- 9 \sqrt{7}))$

Étape 16.2.4.1.3

Multipliez $- 9$ par $- 1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (54 - 45 + 9 \sqrt{7})$

Étape 16.2.4.2

Soustrayez $45$ de $54$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = (1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$

Étape 16.2.5

Développez $(1053 + 81 \sqrt{7}) (9 + 9 \sqrt{7})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 (9 + 9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

Étape 16.2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} (9 + 9 \sqrt{7})$

Étape 16.2.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 1053 \cdot 9 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Étape 16.2.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 16.2.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.6.1.1

Multipliez $1053$ par $9$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 1053 (9 \sqrt{7}) + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Étape 16.2.6.1.2

Multipliez $9$ par $1053$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} \cdot 9 + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Étape 16.2.6.1.3

Multipliez $9$ par $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$

Étape 16.2.6.1.4

Multipliez $81 \sqrt{7} (9 \sqrt{7})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.6.1.4.1

Multipliez $9$ par $81$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} \sqrt{7}$

Étape 16.2.6.1.4.2

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Étape 16.2.6.1.4.3

Élevez $\sqrt{7}$ à la puissance $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 (\sqrt{7} \sqrt{7})$

Étape 16.2.6.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{1 + 1}$

Étape 16.2.6.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {\sqrt{7}}^{2}$

Étape 16.2.6.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7}}^{2}$ comme $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.6.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7}$ comme $7^{\frac{1}{2}}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 16.2.6.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 16.2.6.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Étape 16.2.6.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.6.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7^{\frac{2}{2}}$

Étape 16.2.6.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Étape 16.2.6.1.5.5

Évaluez l’exposant.

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 729 \cdot 7$

Étape 16.2.6.1.6

Multipliez $729$ par $7$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 9477 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7} + 5103$

Étape 16.2.6.2

Additionnez $9477$ et $5103$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 9477 \sqrt{7} + 729 \sqrt{7}$

Étape 16.2.6.3

Additionnez $9477 \sqrt{7}$ et $729 \sqrt{7}$ .

$f (45 - 9 \sqrt{7}) = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

Étape 16.2.7

La réponse finale est $14580 + 10206 \sqrt{7}$ .

$y = 14580 + 10206 \sqrt{7}$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x (81 - x) (54 - x)$ .

$(45 + 9 \sqrt{7}, 14580 - 10206 \sqrt{7})$ est un minimum local

$(45 - 9 \sqrt{7}, 14580 + 10206 \sqrt{7})$ est un maximum local

Étape 18