Calcul infinitésimal Exemples

$y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Étape 1

Écrivez $y = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ comme une fonction.

$f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 250$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ par rapport à $x$ est $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 25}$ comme ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 2.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Étape 2.2.6

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Étape 2.2.7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Étape 2.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Étape 2.2.9

Multipliez $- 2$ par $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1

Associez $500$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ et $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $500$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $500 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 500 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.7

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.8

Multipliez ${(x^{2} + 25)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.9

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (2 (x^{2} + 25) (2 x))}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - x (4 (x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.11

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x ((x^{2} + 25) x)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{1 + 1} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.16

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.16.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.16.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{{(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.17

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de ${(x^{2} + 25)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

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Étape 3.2.17.1

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de ${(x^{2} + 25)}^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) - 4 x^{2} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.17.2

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $- 4 x^{2} (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.17.3

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25) + (x^{2} + 25) (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (x^{2} + 25 - 4 x^{2})}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.18

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.19.1

Factorisez $x^{2} + 25$ à partir de ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = 500 (\frac{(x^{2} + 25) (- 3 x^{2} + 25)}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = 500 (\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.20

Associez $500$ et $\frac{- 3 x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 3$ par $500$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 500 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $500$ par $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}} + 0$

Étape 3.4.2.3

Additionnez $\frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 1500 x^{2} + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 3.4.3

Factorisez $500$ à partir de $- 1500 x^{2} + 12500$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $500$ à partir de $- 1500 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 12500}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $500$ à partir de $12500$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $500$ à partir de $500 (- 3 x^{2}) + 500 (25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 3 x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 3.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $25$ comme $- 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 3.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 3.4.7

Réécrivez $- (3 x^{2} - 25)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 25)$ .

$f'' (x) = \frac{500 (- 1 (3 x^{2} - 25))}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{500 (3 x^{2} - 25)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (\frac{250}{x^{2} + 25})]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $- 250$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{250}{x^{2} + 25}$ par rapport à $x$ est $- 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 25}]$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 25}$ comme ${(x^{2} + 25)}^{- 1}$ .

$1 - 250 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 25)}^{- 1}]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Étape 5.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 5.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - 250 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 5.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 25$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 25])$

Étape 5.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]))$

Étape 5.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [25]))$

Étape 5.1.2.6

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x + 0))$

Étape 5.1.2.7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$1 - 250 (- {(x^{2} + 25)}^{- 2} (2 x))$

Étape 5.1.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - 250 (- 2 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x)$

Étape 5.1.2.9

Multipliez $- 2$ par $- 250$ .

$1 + 500 {(x^{2} + 25)}^{- 2} x$

Étape 5.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 500 \frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Étape 5.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 5.1.3.2.1

Associez $500$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$1 + \frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}} x$

Étape 5.1.3.2.2

Associez $\frac{500}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ et $x$ .

$1 + \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Étape 5.1.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{500 x}{{(x^{2} + 25)}^{2}} + 1 = 0$

Étape 6.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx - 5, - 1.47798871$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - 5, - 1.47798871$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 5$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{500 (3 {(- 5)}^{2} - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 25 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $3$ par $25$ .

$- \frac{500 (75 - 25)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $25$ de $75$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{{(25 + 25)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $25$ et $25$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{50^{3}}$

Étape 10.2.3

Élevez $50$ à la puissance $3$ .

$- \frac{500 \cdot 50}{125000}$

Étape 10.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.3.1

Multipliez $500$ par $50$ .

$- \frac{25000}{125000}$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun à $25000$ et $125000$ .

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Étape 10.3.2.1

Factorisez $25000$ à partir de $25000$ .

$- \frac{25000 (1)}{125000}$

Étape 10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.3.2.2.1

Factorisez $25000$ à partir de $125000$ .

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Étape 10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{25000 \cdot 1}{25000 \cdot 5}$

Étape 10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{5}$

Étape 11

$x = - 5$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 5$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - 5$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $- 5$ dans l’expression.

$f (- 5) = (- 5) - (\frac{250}{{(- 5)}^{2} + 25})$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{25 + 25}$

Étape 12.2.1.1.2

Additionnez $25$ et $25$ .

$f (- 5) = - 5 - \frac{250}{50}$

Étape 12.2.1.2

Divisez $250$ par $50$ .

$f (- 5) = - 5 - 1 \cdot 5$

Étape 12.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f (- 5) = - 5 - 5$

Étape 12.2.2

Soustrayez $5$ de $- 5$ .

$f (- 5) = - 10$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $- 10$ .

$y = - 10$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1.47798871$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{500 (3 {(- 1.47798871)}^{2} - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1.1

Élevez $- 1.47798871$ à la puissance $2$ .

$- \frac{500 (3 \cdot 2.18445063 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $3$ par $2.18445063$ .

$- \frac{500 (6.55335191 - 25)}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 14.1.3

Soustrayez $25$ de $6.55335191$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{({(- 1.47798871)}^{2} + 25)}^{3}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Élevez $- 1.47798871$ à la puissance $2$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{(2.18445063 + 25)}^{3}}$

Étape 14.2.2

Additionnez $2.18445063$ et $25$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{{27.18445063}^{3}}$

Étape 14.2.3

Élevez $27.18445063$ à la puissance $3$ .

$- \frac{500 \cdot - 18.44664808}{20089.1556072}$

Étape 14.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 14.3.1

Multipliez $500$ par $- 18.44664808$ .

$- \frac{- 9223.32404202}{20089.1556072}$

Étape 14.3.2

Divisez $- 9223.32404202$ par $20089.1556072$ .

$- - 0.45911954$

Étape 14.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 0.45911954$ .

$0.45911954$

Étape 15

$x = - 1.47798871$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1.47798871$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = - 1.47798871$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1.47798871$ dans l’expression.

$f (- 1.47798871) = (- 1.47798871) - (\frac{250}{{(- 1.47798871)}^{2} + 25})$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.1.1.1

Élevez $- 1.47798871$ à la puissance $2$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{2.18445063 + 25}$

Étape 16.2.1.1.2

Additionnez $2.18445063$ et $25$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - \frac{250}{27.18445063}$

Étape 16.2.1.2

Divisez $250$ par $27.18445063$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 1 \cdot 9.19643377$

Étape 16.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $9.19643377$ .

$f (- 1.47798871) = - 1.47798871 - 9.19643377$

Étape 16.2.2

Soustrayez $9.19643377$ de $- 1.47798871$ .

$f (- 1.47798871) = - 10.67442248$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $- 10.67442248$ .

$y = - 10.67442248$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x - (\frac{250}{x^{2} + 25})$ .

$(- 5, - 10)$ est un maximum local

$(- 1.47798871, - 10.67442248)$ est un minimum local

Étape 18