Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 49 - x^{2}$ , $[- 7, 7]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 7, 7]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\int_{- 7}^{7} 49 - x^{2} d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\int_{- 7}^{7} 49 d x + \int_{- 7}^{7} - x^{2} d x)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} + \int_{- 7}^{7} - x^{2} d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} - \int_{- 7}^{7} x^{2} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 7}^{7}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 x]_{- 7}^{7} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 7}^{7}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Évaluez $49 x$ sur $7$ et sur $- 7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} ((49 \cdot 7) - 49 \cdot - 7 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 7}^{7}))$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $7$ et sur $- 7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (49 \cdot 7 - 49 \cdot - 7 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.1

Multipliez $49$ par $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (343 - 49 \cdot - 7 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $- 49$ par $- 7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (343 + 343 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3

Additionnez $343$ et $343$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{7^{3}}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} - \frac{{(- 7)}^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.5

Élevez $- 7$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} - \frac{- 343}{3}))$

Étape 9.2.3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} + \frac{343}{3}))$

Étape 9.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} + 1 (\frac{343}{3})))$

Étape 9.2.3.8

Multipliez $\frac{343}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - (\frac{343}{3} + \frac{343}{3}))$

Étape 9.2.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - \frac{343 + 343}{3})$

Étape 9.2.3.10

Additionnez $343$ et $343$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 - \frac{686}{3})$

Étape 9.2.3.11

Pour écrire $686$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (686 \cdot \frac{3}{3} - \frac{686}{3})$

Étape 9.2.3.12

Associez $686$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{686 \cdot 3}{3} - \frac{686}{3})$

Étape 9.2.3.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{686 \cdot 3 - 686}{3})$

Étape 9.2.3.14

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.3.14.1

Multipliez $686$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{2058 - 686}{3})$

Étape 9.2.3.14.2

Soustrayez $686$ de $2058$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 7} (\frac{1372}{3})$

Étape 10

Additionnez $7$ et $7$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{1372}{3}$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Factorisez $14$ à partir de $1372$ .

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 (98)}{3}$

Étape 11.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{14} \cdot \frac{14 \cdot 98}{3}$

Étape 11.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{98}{3}$

Étape 12