Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[- 1, 1]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 1.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Étape 1.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\sqrt[3]{x}$

Étape 1.2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x)$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} ((\frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} \cdot 1 - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.2

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.3

Réécrivez $- 1$ comme ${(- 1)}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}})$

Étape 6.2.4

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Étape 6.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})})$

Étape 6.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot {(- 1)}^{4})$

Étape 6.2.6

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Étape 6.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Étape 6.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 - 3}{4})$

Étape 6.2.9

Soustrayez $3$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{4})$

Étape 6.2.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $4$ .

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Étape 6.2.10.1

Factorisez $4$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 (0)}{4})$

Étape 6.2.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.10.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 6.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Étape 6.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{0}{1})$

Étape 6.2.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0)$

Étape 7

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 8

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$A (x) = 0$

Étape 9