Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $(1, 2)$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[1, 2]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[1, 2]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x)$

Étape 5

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Étape 5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x)$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Évaluez $- x^{- 1}$ sur $2$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((- 2^{- 1}) + 1^{- 1})$

Étape 7.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Étape 7.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + 1)$

Étape 7.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Étape 7.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 1 + 2}{2})$

Étape 7.2.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{2})$

Étape 8

Soustrayez $1$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9

Annulez le facteur commun de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 1 \cdot \frac{1}{2}$

Étape 10

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2}$

Étape 11