Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200 = x$ .

$- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200 = x$

Étape 2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 50 x + 70 y - 200 - x = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $x$ de $50 x$ .

$- 2 x^{2} - x y - 3 y^{2} + 49 x + 70 y - 200 = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = - x + 70$ et $c = - 2 x^{2} + 49 x - 200$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (- x + 70) \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200))}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{1 x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.4

Réécrivez ${(- x + 70)}^{2}$ comme $(- x + 70) (- x + 70)$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{(- x + 70) (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.5

Développez $(- x + 70) (- x + 70)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x + 70) + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.6.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.6.1.5

Multipliez $70$ par $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.6.1.7

Multipliez $70$ par $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.6.2

Soustrayez $70 x$ de $- 70 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.9

Simplifiez

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Étape 5.1.9.1

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.9.2

Multipliez $49$ par $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.9.3

Multipliez $12$ par $- 200$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.10

Soustrayez $24 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} - 140 x + 4900 + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.11

Additionnez $- 140 x$ et $588 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 4900 - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.1.12

Soustrayez $2400$ de $4900$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{2 \cdot - 3}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{- 6}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{1 x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 1$ par $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.4

Réécrivez ${(- x + 70)}^{2}$ comme $(- x + 70) (- x + 70)$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{(- x + 70) (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.5

Développez $(- x + 70) (- x + 70)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x + 70) + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.6.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.6.1.5

Multipliez $70$ par $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.6.1.7

Multipliez $70$ par $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.6.2

Soustrayez $70 x$ de $- 70 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.9

Simplifiez

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Étape 6.1.9.1

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.9.2

Multipliez $49$ par $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.9.3

Multipliez $12$ par $- 200$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.10

Soustrayez $24 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} - 140 x + 4900 + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.11

Additionnez $- 140 x$ et $588 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 4900 - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.1.12

Soustrayez $2400$ de $4900$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{2 \cdot - 3}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{- 6}$

Étape 6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = - \frac{x - 70 + \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 7.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{1 x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{x - 1 \cdot 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 1$ par $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{{(- x + 70)}^{2} - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.4

Réécrivez ${(- x + 70)}^{2}$ comme $(- x + 70) (- x + 70)$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{(- x + 70) (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.5

Développez $(- x + 70) (- x + 70)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x + 70) + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x + 70) - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- x (- x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.6.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{1 x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.6.1.4

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - x \cdot 70 + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.6.1.5

Multipliez $70$ par $- 1$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x + 70 (- x) + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 70 \cdot 70 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.6.1.7

Multipliez $70$ par $70$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 70 x - 70 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.6.2

Soustrayez $70 x$ de $- 70 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 4 \cdot - 3 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.7

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 \cdot (- 2 x^{2} + 49 x - 200)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 + 12 (- 2 x^{2}) + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.9

Simplifiez

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Étape 7.1.9.1

Multipliez $- 2$ par $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 12 (49 x) + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.9.2

Multipliez $49$ par $12$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x + 12 \cdot - 200}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.9.3

Multipliez $12$ par $- 200$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{x^{2} - 140 x + 4900 - 24 x^{2} + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.10

Soustrayez $24 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} - 140 x + 4900 + 588 x - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.11

Additionnez $- 140 x$ et $588 x$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 4900 - 2400}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.1.12

Soustrayez $2400$ de $4900$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{2 \cdot - 3}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$y = \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{- 6}$

Étape 7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x - 70 \pm \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = - \frac{x - 70 - \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{x - 70 + \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

$y = - \frac{x - 70 - \sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}}{6}$

Étape 9

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 23 x^{2} + 448 x + 2500}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 23 x^{2} + 448 x + 2500 \geq 0$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 23 x^{2} + 448 x + 2500 = 0$

Étape 10.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.3

Remplacez les valeurs $a = - 23$ , $b = 448$ et $c = 2500$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 448 \pm \sqrt{448^{2} - 4 \cdot (- 23 \cdot 2500)}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1.1

Élevez $448$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 - 4 \cdot - 23 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 23 \cdot 2500$ .

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Étape 10.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 92 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.4.1.2.2

Multipliez $92$ par $2500$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 230000}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.4.1.3

Additionnez $200704$ et $230000$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{430704}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.4.1.4

Réécrivez $430704$ comme $12^{2} \cdot 2991$ .

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Étape 10.4.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $430704$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{144 (2991)}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.4.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2991}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.4.2

Multipliez $2$ par $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$

Étape 10.4.3

Simplifiez $\frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$ .

$x = \frac{224 \pm 6 \sqrt{2991}}{23}$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 10.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1.1

Élevez $448$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 - 4 \cdot - 23 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 23 \cdot 2500$ .

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Étape 10.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 92 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.5.1.2.2

Multipliez $92$ par $2500$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 230000}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.5.1.3

Additionnez $200704$ et $230000$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{430704}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.5.1.4

Réécrivez $430704$ comme $12^{2} \cdot 2991$ .

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Étape 10.5.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $430704$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{144 (2991)}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.5.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2991}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$

Étape 10.5.3

Simplifiez $\frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$ .

$x = \frac{224 \pm 6 \sqrt{2991}}{23}$

Étape 10.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

Étape 10.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 10.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.6.1.1

Élevez $448$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 - 4 \cdot - 23 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 23 \cdot 2500$ .

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Étape 10.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 92 \cdot 2500}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.6.1.2.2

Multipliez $92$ par $2500$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{200704 + 230000}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.6.1.3

Additionnez $200704$ et $230000$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{430704}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.6.1.4

Réécrivez $430704$ comme $12^{2} \cdot 2991$ .

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Étape 10.6.1.4.1

Factorisez $144$ à partir de $430704$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{144 (2991)}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.6.1.4.2

Réécrivez $144$ comme $12^{2}$ .

$x = \frac{- 448 \pm \sqrt{12^{2} \cdot 2991}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{2 \cdot - 23}$

Étape 10.6.2

Multipliez $2$ par $- 23$ .

$x = \frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$

Étape 10.6.3

Simplifiez $\frac{- 448 \pm 12 \sqrt{2991}}{- 46}$ .

$x = \frac{224 \pm 6 \sqrt{2991}}{23}$

Étape 10.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$

Étape 10.7

Consolidez les solutions.

$x = \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}, \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$

Étape 10.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

$x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

Étape 10.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 7$

Étape 10.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 7$ dans l’inégalité d’origine.

$- 23 {(- 7)}^{2} + 448 (- 7) + 2500 \geq 0$

Étape 10.9.1.3

Le côté gauche $- 1763$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.9.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- 23 {(0)}^{2} + 448 (0) + 2500 \geq 0$

Étape 10.9.2.3

Le côté gauche $2500$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 27$

Étape 10.9.3.2

Remplacez $x$ par $27$ dans l’inégalité d’origine.

$- 23 {(27)}^{2} + 448 (27) + 2500 \geq 0$

Étape 10.9.3.3

Le côté gauche $- 2171$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ Faux

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Vrai

$x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Faux

$x < \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}$ Faux

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} < x < \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Vrai

$x > \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$ Faux

Étape 10.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} \leq x \leq \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}$

Étape 11

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}, \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} \leq x \leq \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}}$

Étape 12

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23}, \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | \frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23} \leq y \leq \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}}$

Étape 13

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[\frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23}, \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}], {x | \frac{224 - 6 \sqrt{2991}}{23} \leq x \leq \frac{224 + 6 \sqrt{2991}}{23}}$

Plage : $[\frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23}, \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}], {y | \frac{231 - 6 \sqrt{1994}}{23} \leq y \leq \frac{231 + 6 \sqrt{1994}}{23}}$

Étape 14