Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4 = x$ .

$2 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4 = x$

Étape 2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 2 x y + 2 y^{2} + 4 - x = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 2 x$ et $c = 2 x^{2} + 4 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2

Laissez $u = 2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ par $u$ .

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Étape 5.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 4 u$ .

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Étape 5.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - u)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5

Simplifiez

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Étape 5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5.1.2

Simplifiez

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Étape 5.1.5.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5.1.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.5.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.5.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$

Étape 5.3

Simplifiez $\frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2

Laissez $u = 2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ par $u$ .

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Étape 6.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 4 u$ .

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Étape 6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - u)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5

Simplifiez

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Étape 6.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.1.2

Simplifiez

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Étape 6.1.5.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.1.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.5.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.5.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$

Étape 6.3

Simplifiez $\frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Étape 6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{x + \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2 x)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.2

Laissez $u = 2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ par $u$ .

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Étape 7.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} x^{2} - 4 \cdot u}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.2.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2} - 4 u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) - 4 u}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (- u)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{2}) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - u)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 \cdot (2 x^{2} + 4 - x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5

Simplifiez

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Étape 7.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.5.1.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 2 \cdot 4 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5.1.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 + 2 (- x)))}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2} + 8 - 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5.1.4

Simplifiez

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Étape 7.1.5.1.4.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 - (- 2 x))}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5.1.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (x^{2} - 4 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.5.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} - 8 + 2 x)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{4 (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 x \pm \sqrt{2^{2} (- 3 x^{2} + 2 x - 8)}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{2 x \pm 2 \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{4}$ .

$y = \frac{x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Étape 7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{x - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{x + \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

$y = \frac{x - \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}}{2}$

Étape 9

Définissez le radicande dans $\sqrt{- 3 x^{2} + 2 x - 8}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- 3 x^{2} + 2 x - 8 \geq 0$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$- 3 x^{2} + 2 x - 8 = 0$

Étape 10.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.3

Remplacez les valeurs $a = - 3$ , $b = 2$ et $c = - 8$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 8)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 8$ .

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Étape 10.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.3

Soustrayez $96$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.4

Réécrivez $- 92$ comme $- 1 (92)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (92)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.7

Réécrivez $92$ comme $2^{2} \cdot 23$ .

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Étape 10.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $92$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.4.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$

Étape 10.4.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{3}$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 10.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 8$ .

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Étape 10.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.3

Soustrayez $96$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.4

Réécrivez $- 92$ comme $- 1 (92)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (92)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.7

Réécrivez $92$ comme $2^{2} \cdot 23$ .

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Étape 10.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $92$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$

Étape 10.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{3}$

Étape 10.5.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{23}}{3}$

Étape 10.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 10.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 3 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot - 3 \cdot - 8$ .

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Étape 10.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 12 \cdot - 8}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.2.2

Multipliez $12$ par $- 8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 96}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.3

Soustrayez $96$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.4

Réécrivez $- 92$ comme $- 1 (92)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (92)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{92}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.7

Réécrivez $92$ comme $2^{2} \cdot 23$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $92$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{23})}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{2 \cdot - 3}$

Étape 10.6.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$

Étape 10.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{23}}{- 6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{23}}{3}$

Étape 10.6.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{23}}{3}$

Étape 10.7

Identifiez le coefficient directeur.

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Étape 10.7.1

Le terme principal dans un polynôme est le terme avec le plus haut degré.

$- 3 x^{2}$

Étape 10.7.2

Le coefficient directeur dans un polynôme est le coefficient du terme principal.

$- 3$

Étape 10.8

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est négatif, le parabole ouvre vers le bas et $- 3 x^{2} + 2 x - 8$ est toujours inférieur à $0$ .

Aucune solution

Étape 11

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 12

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 13

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 14