Calcul infinitésimal Exemples

$a' (t) = (\frac{15}{2}) \sqrt{t} + 3 e^{- t}$

Étape 1

La fonction $a (t)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $a' (t)$ .

$a (t) = \int a' (t) d t$

Étape 2

Associez $\frac{15}{2}$ et $\sqrt{t}$ .

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} + 3 e^{- t} d t$

Étape 3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{15 \sqrt{t}}{2} d t + \int 3 e^{- t} d t$

Étape 4

Comme $\frac{15}{2}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{15}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{15}{2} \int \sqrt{t} d t + \int 3 e^{- t} d t$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{15}{2} \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int 3 e^{- t} d t$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int 3 e^{- t} d t$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int e^{- t} d t$

Étape 8

Laissez $u = - t$ . Alors $d u = - d t$ , donc $- d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = - t$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Étape 8.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- t$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 8.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 \int - e^{u} d u$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + 3 (- \int e^{u} d u)$

Étape 10

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 \int e^{u} d u$

Étape 11

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{15}{2} (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 3 (e^{u} + C)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez

$\frac{15}{2} \cdot \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Étape 12.2

Simplifiez

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Étape 12.2.1

Multipliez $\frac{15}{2}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{15 \cdot 2}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Étape 12.2.2

Multipliez $15$ par $2$ .

$\frac{30}{2 \cdot 3} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Étape 12.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{30}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Étape 12.2.4

Annulez le facteur commun à $30$ et $6$ .

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Étape 12.2.4.1

Factorisez $6$ à partir de $30$ .

$\frac{6 \cdot 5}{6} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Étape 12.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.4.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6$ .

$\frac{6 \cdot 5}{6 (1)} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Étape 12.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cdot 5}{6 \cdot 1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Étape 12.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{1} t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Étape 12.2.4.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{u} + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- t$ .

$5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$

Étape 14

La fonction $a$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$a (t) = 5 t^{\frac{3}{2}} - 3 e^{- t} + C$