Calcul infinitésimal Exemples

$g' (x) = \sqrt{5 x}$

Étape 1

La fonction $g (x)$ peut être trouvée en évaluant l’intégrale infinie de la dérivée $g' (x)$ .

$g (x) = \int g' (x) d x$

Étape 2

Laissez $u = 5 x$ . Alors $d u = 5 d x$ , donc $\frac{1}{5} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = 5 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Étape 2.1.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$

Étape 2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Étape 3

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Étape 4

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{5}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Étape 5

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Étape 7

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Étape 7.1

Réécrivez $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ comme $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2

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Étape 7.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 7.2.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$\frac{2}{15} {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + C$

Étape 9

La fonction $g$ si elle est dérivée de l’intégrale de la dérivée de la fonction. Cela est valide selon le théorème fondamental de l’analyse.

$g (x) = \frac{2}{15} \cdot {(5 x)}^{\frac{3}{2}} + C$