Calcul infinitésimal Exemples

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ .

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$y^{2} - 3 y + 3, 1$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y^{2} - 3 y + 3$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ par $y^{2} - 3 y + 3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} = x$ par $y^{2} - 3 y + 3$ .

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2} - 3 y + 3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y - 1}{y^{2} - 3 y + 3} (y^{2} - 3 y + 3) = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y - 1 = x (y^{2} - 3 y + 3)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = x y^{2} + x (- 3 y) + x \cdot 3$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + x \cdot 3$

Étape 3.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 \cdot x$

$y - 1 = x y^{2} - 3 x y + 3 x$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x = y - 1$

Étape 4.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y = - 1$

Étape 4.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x y^{2} - 3 x y + 3 x - y + 1 = 0$

Étape 4.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.5

Remplacez les valeurs $a = x$ , $b = - 3 x - 1$ et $c = 3 x + 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (- 3 x - 1) \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (x \cdot (3 x + 1))}}{2 x}$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.4

Réécrivez ${(- 3 x - 1)}^{2}$ comme $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.5

Développez $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.6.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.6.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Étape 4.6.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Étape 4.6.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.6.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.6.10.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.6.10.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.6.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.6.10.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.6.11

Soustrayez $12 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.6.12

Soustrayez $4 x$ de $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Étape 4.6.13

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.6.13.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 4.6.13.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Étape 4.6.13.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Étape 4.6.13.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Étape 4.6.13.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.6.13.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Étape 4.6.13.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Étape 4.6.13.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Étape 4.7

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Étape 4.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 4.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 3 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{{(- 3 x - 1)}^{2} - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.4

Réécrivez ${(- 3 x - 1)}^{2}$ comme $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.5

Développez $(- 3 x - 1) (- 3 x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.8.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x - 1) - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x - 1) - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x (- 3 x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.8.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.1.6.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.6.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.8.1.6.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 (x \cdot x)) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.6.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 \cdot (- 3 x^{2}) - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.6.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x - 1 (- 3 x) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.6.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.6.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 3 x + 3 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.6.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot x \cdot (3 x + 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x (3 x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Étape 4.8.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x \cdot 1}}{2 x}$

Étape 4.8.1.9

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x \cdot x) - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.8.1.10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.8.1.10.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.8.1.10.1.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 (x \cdot x)) - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.8.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 4 \cdot (3 x^{2}) - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.8.1.10.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{9 x^{2} + 6 x + 1 - 12 x^{2} - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.8.1.11

Soustrayez $12 x^{2}$ de $9 x^{2}$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 6 x + 1 - 4 x}}{2 x}$

Étape 4.8.1.12

Soustrayez $4 x$ de $6 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 x + 1}}{2 x}$

Étape 4.8.1.13

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.8.1.13.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 3 \cdot 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 4.8.1.13.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 2 (x) + 1}}{2 x}$

Étape 4.8.1.13.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} + (- 1 + 3) x + 1}}{2 x}$

Étape 4.8.1.13.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{- 3 x^{2} - 1 x + 3 x + 1}}{2 x}$

Étape 4.8.1.13.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.8.1.13.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x^{2} - 1 x) + 3 x + 1}}{2 x}$

Étape 4.8.1.13.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{x (- 3 x - 1) - (- 3 x - 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.1.13.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 3 x - 1$ .

$y = \frac{3 x + 1 \pm \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Étape 4.8.2

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Étape 4.9

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

$y = \frac{3 x + 1 - \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$

Étape 5

Définissez le radicande dans $\sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 6.2

Définissez $- 3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez $- 3 x - 1$ égal à $0$ .

$- 3 x - 1 = 0$

Étape 6.2.2

Résolvez $- 3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.2.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 3 x = 1$

Étape 6.2.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = 1$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 6.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = 1$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Étape 6.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 6.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{1}{- 3}$

Étape 6.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{- 3}$

Étape 6.2.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{3}$

Étape 6.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 6.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 6.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(- 3 x - 1) (x - 1) \geq 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{3}, 1$

Étape 6.5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{1}{3}$

$- \frac{1}{3} < x < 1$

$x > 1$

Étape 6.6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{1}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 6.6.1.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 3 \cdot - 3 - 1) ((- 3) - 1) \geq 0$

Étape 6.6.1.3

Le côté gauche $- 32$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{3} < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{1}{3} < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 6.6.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 3 \cdot 0 - 1) ((0) - 1) \geq 0$

Étape 6.6.2.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 6.6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 3 \cdot 4 - 1) ((4) - 1) \geq 0$

Étape 6.6.3.3

Le côté gauche $- 39$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 6.6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{1}{3}$ Faux

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

$x < - \frac{1}{3}$ Faux

$- \frac{1}{3} < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Faux

Étape 6.7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- \frac{1}{3} \leq x \leq 1$

Étape 7

Définissez le dénominateur dans $\frac{3 x + 1 + \sqrt{(- 3 x - 1) (x - 1)}}{2 x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 x = 0$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 9

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Étape 10

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 11

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- \frac{1}{3}, 0) \cup (0, 1], {x | - \frac{1}{3} \leq x \leq 1, x \neq 0}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 12