Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{- 2 x + 8 x^{3}}{2 - x^{2} + 2 x^{4}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$2 - x^{2} + 2 x^{4} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$2 u^{2} - u + 2 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 2.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 1$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.3

Soustrayez $16$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.4

Réécrivez $- 15$ comme $- 1 (15)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}, \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$

Étape 2.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.10.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.10.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Étape 2.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Étape 2.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Étape 2.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}$

Étape 2.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}$

Étape 2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$

Étape 2.12.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.12.3.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.3.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.12.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Étape 2.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Étape 2.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Étape 2.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Étape 2.13

La solution à $2 x^{4} - x^{2} + 2 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15}}}{2}, \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}, - \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15}}}{2}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[- 2.49057894, 2.49057894]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Plage : $[- 2.49057894, 2.49057894], {y | - 2.49057894 \leq y \leq 2.49057894}$

Étape 6