Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$

Step 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x^{2} - 7 x - 8}{x^{3} + 64}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} + 64 = 0$

Step 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Soustrayez $64$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 64$

Ajoutez $64$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} + 64 = 0$

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$x^{3} + 4^{3} = 0$

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 4) (x^{2} - x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Simplifiez

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Multipliez $4$ par $- 1$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 4^{2}) = 0$

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Définissez $x^{2} - 4 x + 16$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Définissez $x^{2} - 4 x + 16$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 x + 16 = 0$

Résolvez $x^{2} - 4 x + 16 = 0$ pour $x$ .

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Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 4$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Simplifiez

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

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Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}$

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Simplifiez le numérateur.

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Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Soustrayez $64$ de $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $- 48$ comme $- 1 (48)$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1 (48)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $48$ comme $4^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Factorisez $16$ à partir de $48$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Simplifiez $\frac{4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 2 - 2 i \sqrt{3}$

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x^{2} - 4 x + 16) = 0$ vraie.

$x = - 4, 2 + 2 i \sqrt{3}, 2 - 2 i \sqrt{3}$

Step 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 4}$

Step 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Step 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 4) \cup (- 4, \infty), {x | x \neq - 4}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Step 6