Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{6 x + 9}{x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{6 x + 9}{x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} + 6 x^{3} + 9 x^{2} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $6 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + 9 x^{2} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $9 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot 9 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x)$ .

$x^{2} (x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 9 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x^{2} + 6 x) + x^{2} \cdot 9$ .

$x^{2} (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Étape 2.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Étape 2.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 3$ .

$x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x + 3)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x + 3)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0, - 3}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \in ℝ}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty), {x | x \neq 0, - 3}$

Plage : $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Étape 6