Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$ .

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 = x$

Étape 2

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 8 x y + y^{2} + 180 y + 46 - x = 0$

Étape 3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8 x + 180$ et $c = x^{2} + 46 - x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- (- 8 x + 180) \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.3

Multipliez $- 1$ par $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5

Laissez $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ par $u$ .

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Étape 5.1.5.1

Réécrivez ${(- 8 x + 180)}^{2}$ comme $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2

Développez $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3.1.4

Multipliez $180$ par $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3.1.5

Multipliez $- 8$ par $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3.1.6

Multipliez $180$ par $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.5.3.2

Soustrayez $1440 x$ de $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6

Factorisez $4$ à partir de $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

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Étape 5.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8

Simplifiez

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Étape 5.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.8.1.1

Multipliez $x^{2} + 46 - x$ par $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.1.3

Simplifiez

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Étape 5.1.8.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.1.3.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.1.8.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.1.3.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.2

Soustrayez $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.3

Additionnez $- 720 x$ et $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.8.4

Soustrayez $46$ de $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Multipliez $- 1$ par $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Laissez $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ par $u$ .

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Étape 6.1.5.1

Réécrivez ${(- 8 x + 180)}^{2}$ comme $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.2

Développez $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.3.1.4

Multipliez $180$ par $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.3.1.5

Multipliez $- 8$ par $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.3.1.6

Multipliez $180$ par $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5.3.2

Soustrayez $1440 x$ de $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6

Factorisez $4$ à partir de $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

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Étape 6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8

Simplifiez

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Étape 6.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.8.1.1

Multipliez $x^{2} + 46 - x$ par $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.8.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8.1.3.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 6.1.8.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8.1.3.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8.2

Soustrayez $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8.3

Additionnez $- 720 x$ et $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.8.4

Soustrayez $46$ de $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = \frac{8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun à $8 x - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ et $2$ .

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Étape 6.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 6.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 6.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 6.4.4

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Étape 6.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x - 90) + 2 (\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Étape 6.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Étape 6.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Étape 6.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Étape 6.4.6.4

Divisez $4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ par $1$ .

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Étape 7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- (- 8 x) - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 8$ par $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 1 \cdot 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 1$ par $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{{(- 8 x + 180)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5

Laissez $u = 1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ . Remplacez toutes les occurrences de $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ par $u$ .

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Étape 7.1.5.1

Réécrivez ${(- 8 x + 180)}^{2}$ comme $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{(- 8 x + 180) (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.2

Développez $(- 8 x + 180) (- 8 x + 180)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x + 180) + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x + 180) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 x (- 8 x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.5.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x \cdot x) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.5.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{- 8 \cdot (- 8 x^{2}) - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 8 x \cdot 180 + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.3.1.4

Multipliez $180$ par $- 8$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x + 180 (- 8 x) + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.3.1.5

Multipliez $- 8$ par $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 180 \cdot 180 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.3.1.6

Multipliez $180$ par $180$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 1440 x - 1440 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.5.3.2

Soustrayez $1440 x$ de $- 1440 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6

Factorisez $4$ à partir de $64 x^{2} - 2880 x + 32400 - 4 u$ .

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Étape 7.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $64 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) - 2880 x + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6.2

Factorisez $4$ à partir de $- 2880 x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 32400 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6.3

Factorisez $4$ à partir de $32400$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6.4

Factorisez $4$ à partir de $- 4 u$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 x^{2}) + 4 (- 720 x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 x^{2} - 720 x) + 4 (8100)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.6.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (16 x^{2} - 720 x + 8100) + 4 (- u)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - u)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 \cdot (x^{2} + 46 - x)$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (1 \cdot (x^{2} + 46 - x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8

Simplifiez

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Étape 7.1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.8.1.1

Multipliez $x^{2} + 46 - x$ par $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - (x^{2} + 46 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 1 \cdot 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8.1.3

Simplifiez

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Étape 7.1.8.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $46$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8.1.3.2

Multipliez $- - x$ .

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Étape 7.1.8.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8.1.3.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (16 x^{2} - 720 x + 8100 - x^{2} - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8.2

Soustrayez $x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 720 x + 8100 - 46 + x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8.3

Additionnez $- 720 x$ et $x$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8100 - 46)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.8.4

Soustrayez $46$ de $8100$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{4 (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm \sqrt{2^{2} (15 x^{2} - 719 x + 8054)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.10

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{8 x - 180 \pm 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = \frac{8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 7.4

Annulez le facteur commun à $8 x - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ et $2$ .

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Étape 7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{2 (4 x) - 180 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 7.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 180$ .

$y = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot - 90 - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 7.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x) + 2 (- 90)$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) - 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{2}$

Étape 7.4.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Étape 7.4.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (4 x - 90) + 2 (- \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2}$

Étape 7.4.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 (1)}$

Étape 7.4.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{2 (4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054})}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}}{1}$

Étape 7.4.6.4

Divisez $4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ par $1$ .

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Étape 8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 4 x - 90 + \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

$y = 4 x - 90 - \sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$

Étape 9

Définissez le radicande dans $\sqrt{15 x^{2} - 719 x + 8054}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 \geq 0$

Étape 10

Résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$15 x^{2} - 719 x + 8054 = 0$

Étape 10.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 10.3

Remplacez les valeurs $a = 15$ , $b = - 719$ et $c = 8054$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{719 \pm \sqrt{{(- 719)}^{2} - 4 \cdot (15 \cdot 8054)}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.4

Simplifiez

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Étape 10.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.4.1.1

Élevez $- 719$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

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Étape 10.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.4.1.2.2

Multipliez $- 60$ par $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.4.1.3

Soustrayez $483240$ de $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.4.2

Multipliez $2$ par $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Étape 10.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 10.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.5.1.1

Élevez $- 719$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

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Étape 10.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.5.1.2.2

Multipliez $- 60$ par $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.5.1.3

Soustrayez $483240$ de $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.5.2

Multipliez $2$ par $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Étape 10.5.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Étape 10.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 10.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.6.1.1

Élevez $- 719$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 4 \cdot 15 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 15 \cdot 8054$ .

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Étape 10.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 60 \cdot 8054}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.6.1.2.2

Multipliez $- 60$ par $8054$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{516961 - 483240}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.6.1.3

Soustrayez $483240$ de $516961$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{2 \cdot 15}$

Étape 10.6.2

Multipliez $2$ par $15$ .

$x = \frac{719 \pm \sqrt{33721}}{30}$

Étape 10.6.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Étape 10.7

Consolidez les solutions.

$x = \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

Étape 10.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Étape 10.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 10.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 10.9.1.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$15 {(0)}^{2} - 719 \cdot 0 + 8054 \geq 0$

Étape 10.9.1.3

Le côté gauche $8054$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 20$

Étape 10.9.2.2

Remplacez $x$ par $20$ dans l’inégalité d’origine.

$15 {(20)}^{2} - 719 \cdot 20 + 8054 \geq 0$

Étape 10.9.2.3

Le côté gauche $- 326$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 10.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 10.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 33$

Étape 10.9.3.2

Remplacez $x$ par $33$ dans l’inégalité d’origine.

$15 {(33)}^{2} - 719 \cdot 33 + 8054 \geq 0$

Étape 10.9.3.3

Le côté gauche $662$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 10.9.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Vrai

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Faux

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Vrai

$x < \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ Vrai

$\frac{719 - \sqrt{33721}}{30} < x < \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Faux

$x > \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$ Vrai

Étape 10.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}$ ou $x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}$

Étape 11

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Étape 12

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Étape 13

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{719 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {x | x \leq \frac{719 - \sqrt{33721}}{30}, x \geq \frac{719 + \sqrt{33721}}{30}}$

Plage : $(- \infty, \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}] \cup [\frac{176 + \sqrt{33721}}{30}, \infty), {y | y \leq \frac{176 - \sqrt{33721}}{30}, y \geq \frac{176 + \sqrt{33721}}{30}}$

Étape 14