Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ comme une équation.

$y = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 y - 1))$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1) = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1)) = 2 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \cdot \ln (2 y - 1))$ .

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Étape 3.3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (2 y - 1)$ .

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (2 y - 1)}{2} = 2 x$

Étape 3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (2 y - 1) = 2 x$

Étape 3.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (2 y - 1)} = e^{2 x}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (2 y - 1) = 2 x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 x} = 2 y - 1$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $2 y - 1 = e^{2 x}$ .

$2 y - 1 = e^{2 x}$

Étape 3.6.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y = e^{2 x} + 1$

Étape 3.6.3

Divisez chaque terme dans $2 y = e^{2 x} + 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = e^{2 x} + 1$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 3.6.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))}}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1)))} + 1}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Simplifiez $\frac{1}{2} (\ln (2 x - 1))$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + 1}{2}$

Étape 5.2.4.2

Simplifiez $2 \ln ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{e^{\ln ({({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2})} + 1}{2}$

Étape 5.2.4.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 1}{2}$

Étape 5.2.4.4

Multipliez les exposants dans ${({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.4.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Étape 5.2.4.4.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 1}{2}$

Étape 5.2.4.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{(2 x - 1) + 1}{2}$

Étape 5.2.4.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $2 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.5.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) - 1))$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (2 (\frac{e^{2 x}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.3.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.3.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)$

Étape 5.3.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $e^{2 x} + 1 - 1$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x} + 0)$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $e^{2 x}$ et $0$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln (e^{2 x})$

Étape 5.3.5

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2 x$ de l’exposant.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \ln (e))$

Étape 5.3.6

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x \cdot 1)$

Étape 5.3.7

Multipliez $2$ par $1$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.8.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x))$

Étape 5.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Étape 5.3.8.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2 x - 1))$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2}$