Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{2 x}$ et $g (x) = \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [\cos^{3} (2 x^{2} - 3)] + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \cos (2 x^{2} - 3)$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (2 x^{2} - 3)$ .

$e^{2 x} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 3)]) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$e^{2 x} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 3)]) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (2 x^{2} - 3)$ .

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [\cos (2 x^{2} - 3)]) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x^{2} - 3$ .

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Étape 3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x^{2} - 3$ .

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x^{2} - 3$ .

$e^{2 x} (3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (- \sin (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4

Différenciez.

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Étape 4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) (\sin (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3])) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.6

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (4 x + 0)) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.7.1

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$e^{2 x} (- 3 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) (4 x)) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 4.7.2

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{3}$ comme $2 x$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ est $a^{u_{3}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 x$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 6

Différenciez.

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Étape 6.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 6.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 6.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} (- 12 \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) x) + \cos^{3} (2 x^{2} - 3) (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 12 e^{2 x} x \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) + 2 e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$

Étape 7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 12 e^{2 x} x \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) + 2 e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$ .

$- 12 x e^{2 x} \cos^{2} (2 x^{2} - 3) \sin (2 x^{2} - 3) + 2 e^{2 x} \cos^{3} (2 x^{2} - 3)$