Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \sqrt{\ln (x - 1)}$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\ln (x - 1)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 1 > 0$

Étape 2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x > 1$

Étape 3

Définissez le radicande dans $\sqrt{\ln (x - 1)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\ln (x - 1) \geq 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\ln (x - 1) = 0$

Étape 4.2

Résolvez l’équation.

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Étape 4.2.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x - 1)} = e^{0}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\ln (x - 1) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x - 1$

Étape 4.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $x - 1 = e^{0}$ .

$x - 1 = e^{0}$

Étape 4.2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x - 1 = 1$

Étape 4.2.3.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.2.3.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1 + 1$

Étape 4.2.3.3.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = 2$

Étape 4.3

Déterminez le domaine de $\ln (x - 1)$ .

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Étape 4.3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x - 1)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x - 1 > 0$

Étape 4.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x > 1$

Étape 4.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(1, \infty)$

Étape 4.4

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq 2$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 2}$

Étape 6

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \geq 0}$

Étape 7

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[2, \infty), {x | x \geq 2}$

Plage : $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Étape 8