Calcul infinitésimal Exemples

$x = \frac{2 e^{8 t}}{4 t + 5}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (x) = \frac{d}{d t} (\frac{2 e^{8 t}}{4 t + 5})$

Étape 2

La dérivée de $x$ par rapport à $t$ est $x'$ .

$x'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{2 e^{8 t}}{4 t + 5}$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [\frac{e^{8 t}}{4 t + 5}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\frac{e^{8 t}}{4 t + 5}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ est $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ où $f (t) = e^{8 t}$ et $g (t) = 4 t + 5$ .

$2 \frac{(4 t + 5) \frac{d}{d t} [e^{8 t}] - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = e^{t}$ et $g (t) = 8 t$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $8 t$ .

$2 \frac{(4 t + 5) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [8 t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 \frac{(4 t + 5) (e^{u} \frac{d}{d t} [8 t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 t$ .

$2 \frac{(4 t + 5) (e^{8 t} \frac{d}{d t} [8 t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $8 t$ par rapport à $t$ est $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{(4 t + 5) e^{8 t} (8 \frac{d}{d t} [t]) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(4 t + 5) e^{8 t} (8 \cdot 1) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.3.1

Multipliez $8$ par $1$ .

$2 \frac{(4 t + 5) e^{8 t} \cdot 8 - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.3.2

Déplacez $8$ à gauche de $(4 t + 5) e^{8 t}$ .

$2 \frac{8 \cdot ((4 t + 5) e^{8 t}) - e^{8 t} \frac{d}{d t} [4 t + 5]}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t + 5$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [5]$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.5

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 + \frac{d}{d t} [5])}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.8

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} (4 + 0)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.9

Associez les fractions.

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Étape 3.4.9.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - e^{8 t} \cdot 4}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.9.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.4.9.3

Associez $2$ et $\frac{8 (4 t + 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$ .

$\frac{2 (8 (4 t + 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 ((8 (4 t) + 8 \cdot 5) e^{8 t} - 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (8 (4 t) e^{8 t} + 8 \cdot 5 e^{8 t} - 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (8 (4 t) e^{8 t}) + 2 (8 \cdot 5 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1.1

Multipliez $4$ par $8$ .

$\frac{2 (32 t e^{8 t}) + 2 (8 \cdot 5 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.2

Multipliez $32$ par $2$ .

$\frac{64 (t e^{8 t}) + 2 (8 \cdot 5 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.3

Multipliez $8$ par $5$ .

$\frac{64 t e^{8 t} + 2 (40 e^{8 t}) + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.4

Multipliez $40$ par $2$ .

$\frac{64 t e^{8 t} + 80 e^{8 t} + 2 (- 4 e^{8 t})}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.4.1.5

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{64 t e^{8 t} + 80 e^{8 t} - 8 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.4.2

Soustrayez $8 e^{8 t}$ de $80 e^{8 t}$ .

$\frac{64 t e^{8 t} + 72 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{64 e^{8 t} t + 72 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.6

Factorisez $8 e^{8 t}$ à partir de $64 e^{8 t} t + 72 e^{8 t}$ .

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Étape 3.5.6.1

Factorisez $8 e^{8 t}$ à partir de $64 e^{8 t} t$ .

$\frac{8 e^{8 t} (8 t) + 72 e^{8 t}}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.6.2

Factorisez $8 e^{8 t}$ à partir de $72 e^{8 t}$ .

$\frac{8 e^{8 t} (8 t) + 8 e^{8 t} (9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 3.5.6.3

Factorisez $8 e^{8 t}$ à partir de $8 e^{8 t} (8 t) + 8 e^{8 t} (9)$ .

$\frac{8 e^{8 t} (8 t + 9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x' = \frac{8 e^{8 t} (8 t + 9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $x'$ par $\frac{d x}{d t}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{8 e^{8 t} (8 t + 9)}{{(4 t + 5)}^{2}}$