Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 2}{4 x - x^{3}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 2}{4 x - x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 x - x^{3} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x - x^{3}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$x \cdot 4 - x^{3} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$x \cdot 4 + x (- x^{2}) = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot 4 + x (- x^{2})$ .

$x (4 - x^{2}) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x (2^{2} - x^{2}) = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez.

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Étape 2.1.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2$ et $b = x$ .

$x ((2 + x) (2 - x)) = 0$

Étape 2.1.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x (2 + x) (2 - x) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$2 + x = 0$

$2 - x = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 + x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 + x$ égal à $0$ .

$2 + x = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.5

Définissez $2 - x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 - x$ égal à $0$ .

$2 - x = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 - x = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 2$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 2$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Divisez $- 2$ par $- 1$ .

$x = 2$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (2 + x) (2 - x) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0, 2, - 2}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup [1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y < 0, y \geq 1}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty), {x | x \neq 0, 2, - 2}$

Plage : $(- \infty, 0) \cup [1, \infty), {y | y < 0, y \geq 1}$

Étape 6