Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 2 x + 10$ , $[- 2, 6]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 6]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} + 2 x + 10 d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\int_{- 2}^{6} x^{2} d x + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + \int_{- 2}^{6} 2 x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 \int_{- 2}^{6} x d x + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \int_{- 2}^{6} 10 d x)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + 10 x]_{- 2}^{6})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{6}$ et $10 x]_{- 2}^{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{6}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $6$ et sur $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} x^{3} + 10 x]_{- 2}^{6})$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + 10 x$ sur $6$ et sur $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 ((\frac{6^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{36}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.2

Annulez le facteur commun à $36$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $36$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 (1)} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{2 \cdot 18}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (\frac{18}{1} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.2.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.3

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{4}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.4

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - \frac{2}{1}) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 1 \cdot 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 (18 - 2) + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.6

Soustrayez $2$ de $18$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (2 \cdot 16 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.7

Multipliez $2$ par $16$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.8

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{1}{3} \cdot 216 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{216}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.10

Annulez le facteur commun à $216$ et $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $216$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 (1)} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{72}{1} + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.10.2.4

Divisez $72$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 10 \cdot 6 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.11

Multipliez $10$ par $6$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 72 + 60 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.12

Additionnez $72$ et $60$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.13

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{1}{3} \cdot - 8 + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.14

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (\frac{- 8}{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + 10 \cdot - 2))$

Étape 11.2.3.16

Multipliez $10$ par $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20))$

Étape 11.2.3.17

Pour écrire $- 20$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} - 20 \cdot \frac{3}{3}))$

Étape 11.2.3.18

Associez $- 20$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - (- \frac{8}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3}))$

Étape 11.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 20 \cdot 3}{3})$

Étape 11.2.3.20

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.20.1

Multipliez $- 20$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 8 - 60}{3})$

Étape 11.2.3.20.2

Soustrayez $60$ de $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 - \frac{- 68}{3})$

Étape 11.2.3.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

Étape 11.2.3.22

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + 1 (\frac{68}{3}))$

Étape 11.2.3.23

Multipliez $\frac{68}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 + \frac{68}{3})$

Étape 11.2.3.24

Pour écrire $132$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + 132 \cdot \frac{3}{3} + \frac{68}{3})$

Étape 11.2.3.25

Associez $132$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3}{3} + \frac{68}{3})$

Étape 11.2.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{132 \cdot 3 + 68}{3})$

Étape 11.2.3.27

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.27.1

Multipliez $132$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{396 + 68}{3})$

Étape 11.2.3.27.2

Additionnez $396$ et $68$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 + \frac{464}{3})$

Étape 11.2.3.28

Pour écrire $32$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (32 \cdot \frac{3}{3} + \frac{464}{3})$

Étape 11.2.3.29

Associez $32$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3}{3} + \frac{464}{3})$

Étape 11.2.3.30

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{32 \cdot 3 + 464}{3})$

Étape 11.2.3.31

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.3.31.1

Multipliez $32$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{96 + 464}{3})$

Étape 11.2.3.31.2

Additionnez $96$ et $464$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 2} (\frac{560}{3})$

Étape 12

Additionnez $6$ et $2$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{560}{3}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Factorisez $8$ à partir de $560$ .

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 (70)}{3}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 70}{3}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{70}{3}$

Étape 14