Calcul infinitésimal Exemples

$p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ , $0 < x < 10$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $p (x)$ est continu sur $[0, 10]$ ou non, déterminez le domaine de $p (x) = \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ .

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Étape 1.1

Définissez l’argument dans $\ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Additionnez $- x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$2 x^{2} + 72 x + 1 > 0$

Étape 1.2.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$2 x^{2} + 72 x + 1 = 0$

Étape 1.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.4

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = 72$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 72 \pm \sqrt{72^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $72$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $8$ de $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $5176$ comme $2^{2} \cdot 1294$ .

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Étape 1.2.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $72$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $8$ de $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $5176$ comme $2^{2} \cdot 1294$ .

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Étape 1.2.6.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Étape 1.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.6.5

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 + \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.6.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - 1 (- \sqrt{1294})}{2}$

Étape 1.2.6.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (36) - 1 (- \sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 - \sqrt{1294})}{2}$

Étape 1.2.6.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $72$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5184 - 8}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $8$ de $5184$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{5176}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $5176$ comme $2^{2} \cdot 1294$ .

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Étape 1.2.7.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $5176$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{4 (1294)}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 72 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 1294}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{2 \cdot 2}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$

Étape 1.2.7.3

Simplifiez $\frac{- 72 \pm 2 \sqrt{1294}}{4}$ .

$x = \frac{- 36 \pm \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.7.5

Réécrivez $- 36$ comme $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.7.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{1294}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 36 - (\sqrt{1294})}{2}$

Étape 1.2.7.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (36) - (\sqrt{1294})$ .

$x = \frac{- 1 (36 + \sqrt{1294})}{2}$

Étape 1.2.7.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.8

Consolidez les solutions.

$x = - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.9

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.2.10

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 1.2.10.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.10.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 38$

Étape 1.2.10.1.2

Remplacez $x$ par $- 38$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 38)}^{2} + 3 {(- 38)}^{2} + 72 (- 38) + 1 > 0$

Étape 1.2.10.1.3

Le côté gauche $153$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.10.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.10.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 1.2.10.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(- 3)}^{2} + 3 {(- 3)}^{2} + 72 (- 3) + 1 > 0$

Étape 1.2.10.2.3

Le côté gauche $- 197$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 1.2.10.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 1.2.10.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 1.2.10.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$- {(0)}^{2} + 3 {(0)}^{2} + 72 (0) + 1 > 0$

Étape 1.2.10.3.3

Le côté gauche $1$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 1.2.10.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Vrai

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Faux

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Vrai

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ Vrai

$- \frac{36 + \sqrt{1294}}{2} < x < - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Faux

$x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$ Vrai

Étape 1.2.11

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}$ ou $x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}) \cup (- \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < - \frac{36 + \sqrt{1294}}{2}, x > - \frac{36 - \sqrt{1294}}{2}}$

Étape 2

$p (x)$ est continu sur $[0, 10]$ .

$p (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $p$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x)$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Étape 5.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (- x^{2} + 3 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Étape 6

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1

Additionnez $- x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$

Étape 6.2

Associez $\frac{1}{10}$ et $\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x$ .

$A (x) = \frac{\int_{0}^{10} \ln (2 x^{2} + 72 x + 1) d x}{10}$

Étape 7