Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = x^{2} (x^{4} - 3)$ , $[0, 2]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$g (x)$ est continu sur $[0, 2]$ .

$g (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} (x^{4} - 3) d x)$

Étape 5

Multipliez $x^{2} (x^{4} - 3)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} x^{4} + x^{2} \cdot - 3 d x)$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2 + 4} + x^{2} \cdot - 3 d x)$

Étape 6.1.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{6} + x^{2} \cdot - 3 d x)$

Étape 6.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{6} - 3 x^{2} d x)$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{6} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{6}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x)$

Étape 9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} - 3 \int_{0}^{2} x^{2} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}))$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} x^{7}]_{0}^{2} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{1}{7} x^{7}$ sur $2$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} ((\frac{1}{7} \cdot 2^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}))$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} \cdot 2^{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3

Simplifiez

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Étape 11.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{7} \cdot 128 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.2

Associez $\frac{1}{7}$ et $128$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0^{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - \frac{1}{7} \cdot 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.4

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + 0 (\frac{1}{7}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.5

Multipliez $0$ par $\frac{1}{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + 0 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.6

Additionnez $\frac{128}{7}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.8

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 11.2.3.9

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 11.2.3.9.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 11.2.3.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 11.2.3.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 11.2.3.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 11.2.3.9.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} - 0))$

Étape 11.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3} + 0))$

Étape 11.2.3.11

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 3 (\frac{8}{3}))$

Étape 11.2.3.12

Associez $- 3$ et $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 3 \cdot 8}{3})$

Étape 11.2.3.13

Multipliez $- 3$ par $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 24}{3})$

Étape 11.2.3.14

Annulez le facteur commun à $- 24$ et $3$ .

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Étape 11.2.3.14.1

Factorisez $3$ à partir de $- 24$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{3 \cdot - 8}{3})$

Étape 11.2.3.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.14.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)})$

Étape 11.2.3.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1})$

Étape 11.2.3.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 8}{1})$

Étape 11.2.3.14.2.4

Divisez $- 8$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 8)$

Étape 11.2.3.15

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} - 8 \cdot \frac{7}{7})$

Étape 11.2.3.16

Associez $- 8$ et $\frac{7}{7}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128}{7} + \frac{- 8 \cdot 7}{7})$

Étape 11.2.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128 - 8 \cdot 7}{7})$

Étape 11.2.3.18

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.18.1

Multipliez $- 8$ par $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{128 - 56}{7})$

Étape 11.2.3.18.2

Soustrayez $56$ de $128$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{72}{7})$

Étape 12

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{72}{7}$

Étape 12.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{7}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1

Factorisez $2$ à partir de $72$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (36)}{7}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 36}{7}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{36}{7}$

Étape 14