Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ , $[0, 2]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $g (x)$ est continu sur $[0, 2]$ ou non, déterminez le domaine de $g (x) = x^{2} \sqrt{1 + x^{3}}$ .

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{1 + x^{3}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$1 + x^{3} \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} \geq - 1$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{3} + 1 \geq 0$

Étape 1.2.3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x^{3} + 1^{3} = 0$

Étape 1.2.4.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.4.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Étape 1.2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 1.2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.7

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.7.1

Définissez $x^{2} - x + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Étape 1.2.7.2

Résolvez $x^{2} - x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.7.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.7.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.7.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.2.4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 1.2.7.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.7.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.7.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 1.2.9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq - 1$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - 1}$

Notation d’intervalle :

$[- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - 1}$

Étape 2

$g (x)$ est continu sur $[0, 2]$ .

$g (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{1 + x^{3}} d x)$

Étape 5

Laissez $u = 1 + x^{3}$ . Alors $d u = 3 x^{2} d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 1 + x^{3}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $1 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{3}]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Étape 5.1.5

Additionnez $0$ et $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{3}$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Étape 5.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 1 + x^{3}$ .

$u_{upper} = 1 + 2^{3}$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$u_{upper} = 1 + 8$

Étape 5.5.2

Additionnez $1$ et $8$ .

$u_{upper} = 9$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \sqrt{u} (\frac{1}{3}) d u)$

Étape 6

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{1}^{9} \frac{\sqrt{u}}{3} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u)$

Étape 8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $9$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.6

Multipliez $2$ par $27$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.7

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 10.2.7.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.7.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Étape 10.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 - \frac{2}{3}))$

Étape 10.2.10

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}))$

Étape 10.2.11

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}))$

Étape 10.2.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{18 \cdot 3 - 2}{3})$

Étape 10.2.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.2.13.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{54 - 2}{3})$

Étape 10.2.13.2

Soustrayez $2$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{1}{3} \cdot \frac{52}{3})$

Étape 10.2.14

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{52}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{3 \cdot 3})$

Étape 10.2.15

Multipliez $3$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\frac{52}{9})$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot \frac{52}{9}$

Étape 11.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{52}{9}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1

Factorisez $2$ à partir de $52$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (26)}{9}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 26}{9}$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{26}{9}$

Étape 13