Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x - x^{2}$ , $[- 1, 1]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 1, 1]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x - x^{2} d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 2 x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \int_{- 1}^{1} x d x + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - x^{2} d x)$

Étape 9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - \int_{- 1}^{1} x^{2} d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}))$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3

Simplifiez

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Étape 11.2.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{1 - 1}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.5

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 11.2.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 (0)}{2}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 (\frac{0}{1}) - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.5.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (2 \cdot 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

Étape 11.2.3.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

Étape 11.2.3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 11.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

Étape 11.2.3.11

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

Étape 11.2.3.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{1 + 1}{3})$

Étape 11.2.3.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (0 - \frac{2}{3})$

Étape 11.2.3.14

Soustrayez $\frac{2}{3}$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (- \frac{2}{3})$

Étape 12

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (- \frac{2}{3})$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 2}{3}$

Étape 13.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (- 1)}{3}$

Étape 13.3

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot - 1}{3}$

Étape 13.4

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{- 1}{3}$

Étape 14

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = - \frac{1}{3}$

Étape 15