Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} + 5 x + 3$ , $- 1 < x < 2$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} + 5 x + 3 d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Étape 9

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 3 d x)$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 1}^{2})$

Étape 13.3

Évaluez $3 x$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4

Simplifiez

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Étape 13.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} - \frac{- 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8}{3} + \frac{1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{8 + 1}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.7

Additionnez $8$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{9}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8

Annulez le facteur commun à $9$ et $3$ .

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Étape 13.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 (1)}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 (\frac{3}{1}) + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (2 \cdot 3 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.10

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.11

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 13.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.11.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.13

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.14

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.16.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{4 - 1}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.16.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + 5 (\frac{3}{2}) + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.17

Associez $5$ et $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{5 \cdot 3}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.18

Multipliez $5$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.19

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.20

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{6 \cdot 2 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.22.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{12 + 15}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.22.2

Additionnez $12$ et $15$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 3 \cdot 2 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.23

Multipliez $3$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 - 3 \cdot - 1)$

Étape 13.4.24

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 6 + 3)$

Étape 13.4.25

Additionnez $6$ et $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9)$

Étape 13.4.26

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + 9 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 13.4.27

Associez $9$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2} + \frac{9 \cdot 2}{2})$

Étape 13.4.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 9 \cdot 2}{2})$

Étape 13.4.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.4.29.1

Multipliez $9$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27 + 18}{2})$

Étape 13.4.29.2

Additionnez $27$ et $18$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{45}{2})$

Étape 14

Additionnez $2$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{45}{2}$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 15.1

Factorisez $3$ à partir de $45$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (15)}{2}$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 15}{2}$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{15}{2}$

Étape 16