Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x}{4}$ , $[1, 5]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[1, 5]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} \frac{x}{4} d x)$

Étape 5

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{5} x d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5})$

Étape 7

Remplacez et simplifiez.

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Étape 7.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $5$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{1}{2} \cdot 5^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}))$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 25 - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}))$

Étape 7.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2}))$

Étape 7.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{25}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1))$

Étape 7.2.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}))$

Étape 7.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{25 - 1}{2})$

Étape 7.2.6

Soustrayez $1$ de $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{24}{2})$

Étape 7.2.7

Annulez le facteur commun à $24$ et $2$ .

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Étape 7.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12}{2})$

Étape 7.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12}{2 (1)})$

Étape 7.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1})$

Étape 7.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot \frac{12}{1})$

Étape 7.2.7.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 12)$

Étape 7.2.8

Associez $\frac{1}{4}$ et $12$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{12}{4})$

Étape 7.2.9

Annulez le facteur commun à $12$ et $4$ .

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Étape 7.2.9.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{4 \cdot 3}{4})$

Étape 7.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.9.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{4 \cdot 3}{4 (1)})$

Étape 7.2.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1})$

Étape 7.2.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{3}{1})$

Étape 7.2.9.2.4

Divisez $3$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (3)$

Étape 8

Soustrayez $1$ de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 3$

Étape 9

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

$A (x) = \frac{3}{4}$

Étape 10