Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + 12 x^{- 1}$ , $[- 4, - 3]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[- 4, - 3]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = x + 12 x^{- 1}$ .

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Étape 1.1

Définissez la base dans $x^{- 1}$ égale à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 4, - 3]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x + 12 x^{- 1} d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\int_{- 4}^{- 3} x d x + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + \int_{- 4}^{- 3} 12 x^{- 1} d x)$

Étape 7

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 \int_{- 4}^{- 3} x^{- 1} d x)$

Étape 8

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{- 3} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1.1

Évaluez $\frac{1}{2} x^{2}$ sur $- 3$ et sur $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} ((\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2}) - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| x |)]_{- 4}^{- 3}))$

Étape 9.1.2

Évaluez $\ln (| x |)$ sur $- 3$ et sur $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3

Simplifiez

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Étape 9.1.3.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{1}{2} \cdot 9 - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - \frac{1}{2} \cdot 16 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.4

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 16 (\frac{1}{2}) + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.5

Associez $- 16$ et $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.6

Annulez le facteur commun à $- 16$ et $2$ .

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Étape 9.1.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 16$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8}{1} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.6.2.4

Divisez $- 8$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.7

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} - 8 \cdot \frac{2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.8

Associez $- 8$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9}{2} + \frac{- 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 8 \cdot 2}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.3.10.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{9 - 16}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.10.2

Soustrayez $16$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)))$

Étape 9.1.3.12

Pour écrire $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot \frac{2}{2})$

Étape 9.1.3.13

Associez $12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7}{2} + \frac{12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Étape 9.1.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 12 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |)) \cdot 2}{2})$

Étape 9.1.3.15

Multipliez $2$ par $12$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 (\ln (| - 3 |) - \ln (| - 4 |))}{2})$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Étape 9.2.2

Réécrivez $- 7$ comme $- 1 (7)$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 + 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 \cdot 7 - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Étape 9.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (7) - (- 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (\frac{- 1 (7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |}))}{2})$

Étape 9.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{| - 3 |}{| - 4 |})}{2})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 3$ et $0$ est $3$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{| - 4 |})}{2})$

Étape 9.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 4$ et $0$ est $4$ .

$A (x) = \frac{1}{- 3 + 4} (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Étape 10

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 10.1

Additionnez $- 3$ et $4$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Étape 10.2.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 1 \cdot (- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2})$

Étape 10.3

Multipliez $- \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$ par $1$ .

$A (x) = - \frac{7 - 24 \ln (\frac{3}{4})}{2}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Simplifiez $- 24 \ln (\frac{3}{4})$ en déplaçant $24$ dans le logarithme.

$A (x) = - \frac{7 - \ln ({(\frac{3}{4})}^{24})}{2}$

Étape 11.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{4}$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{3^{24}}{4^{24}})}{2}$

Étape 11.3

Élevez $3$ à la puissance $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{4^{24}})}{2}$

Étape 11.4

Élevez $4$ à la puissance $24$ .

$A (x) = - \frac{7 - \ln (\frac{282429536481}{281474976710656})}{2}$

Étape 12