Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 7 x^{2} + 7$ , $[- 1, 4]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 1, 4]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} + 7 d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\int_{- 1}^{4} 7 x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Étape 6

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 \int_{- 1}^{4} x^{2} d x + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + \int_{- 1}^{4} 7 d x)$

Étape 9

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{4}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 x]_{- 1}^{4})$

Étape 10.2

Évaluez $7 x$ sur $4$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} - \frac{- 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + 1 (\frac{1}{3})) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64}{3} + \frac{1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{64 + 1}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.7

Additionnez $64$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (7 (\frac{65}{3}) + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.8

Associez $7$ et $\frac{65}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{7 \cdot 65}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.9

Multipliez $7$ par $65$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 7 \cdot 4 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.10

Multipliez $7$ par $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 - 7 \cdot - 1)$

Étape 10.3.11

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 28 + 7)$

Étape 10.3.12

Additionnez $28$ et $7$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35)$

Étape 10.3.13

Pour écrire $35$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + 35 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 10.3.14

Associez $35$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455}{3} + \frac{35 \cdot 3}{3})$

Étape 10.3.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 35 \cdot 3}{3})$

Étape 10.3.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.3.16.1

Multipliez $35$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{455 + 105}{3})$

Étape 10.3.16.2

Additionnez $455$ et $105$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 1} (\frac{560}{3})$

Étape 11

Additionnez $4$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{560}{3}$

Étape 12

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 12.1

Factorisez $5$ à partir de $560$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 (112)}{3}$

Étape 12.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot \frac{5 \cdot 112}{3}$

Étape 12.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{112}{3}$

Étape 13