Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 5 x$ , $[1, 2]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[1, 2]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} - 4 x^{2} + 5 x d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\int_{1}^{2} x^{3} d x + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Étape 7

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 5 x d x)$

Étape 10

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 \int_{1}^{2} x d x)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}))$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} x^{4}]_{1}^{2} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $2$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

Étape 12.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $2$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}))$

Étape 12.2.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 2^{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4

Simplifiez

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Étape 12.2.4.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 12.2.4.3.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.4.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.3.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1 - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.6

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.7

Associez $4$ et $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{4 \cdot 4 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.4.9.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{16 - 1}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.9.2

Soustrayez $1$ de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.11

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 \frac{8 - 1}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.13

Soustrayez $1$ de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - 4 (\frac{7}{3}) + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.14

Associez $- 4$ et $\frac{7}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 4 \cdot 7}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.15

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} + \frac{- 28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.17

Pour écrire $\frac{15}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.18

Pour écrire $- \frac{28}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.19

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.2.4.19.1

Multipliez $\frac{15}{4}$ par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.19.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28}{3} \cdot \frac{4}{4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.19.3

Multipliez $\frac{28}{3}$ par $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{3 \cdot 4} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.19.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3}{12} - \frac{28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{15 \cdot 3 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.21

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.4.21.1

Multipliez $15$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 28 \cdot 4}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.21.2

Multipliez $- 28$ par $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{45 - 112}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.21.3

Soustrayez $112$ de $45$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.22

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.23

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.24

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 12.2.4.24.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.24.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.4.24.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.24.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.24.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.24.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1^{2}}{2}))$

Étape 12.2.4.25

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 - \frac{1}{2}))$

Étape 12.2.4.26

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Étape 12.2.4.27

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Étape 12.2.4.28

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}))$

Étape 12.2.4.29

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.4.29.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{4 - 1}{2}))$

Étape 12.2.4.29.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + 5 (\frac{3}{2}))$

Étape 12.2.4.30

Associez $5$ et $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{5 \cdot 3}{2})$

Étape 12.2.4.31

Multipliez $5$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2})$

Étape 12.2.4.32

Pour écrire $\frac{15}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15}{2} \cdot \frac{6}{6})$

Étape 12.2.4.33

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.2.4.33.1

Multipliez $\frac{15}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{2 \cdot 6})$

Étape 12.2.4.33.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (- \frac{67}{12} + \frac{15 \cdot 6}{12})$

Étape 12.2.4.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 15 \cdot 6}{12})$

Étape 12.2.4.35

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.4.35.1

Multipliez $15$ par $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{- 67 + 90}{12})$

Étape 12.2.4.35.2

Additionnez $- 67$ et $90$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 1} (\frac{23}{12})$

Étape 13

Soustrayez $1$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 14.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot \frac{23}{12}$

Étape 14.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 1 \cdot \frac{23}{12}$

Étape 15

Multipliez $\frac{23}{12}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{23}{12}$

Étape 16