Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ , $[0, 4]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 4]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{3} - 3 x^{2} d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} - 3 x^{2} d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} + \int_{0}^{4} - 3 x^{2} d x)$

Étape 7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 \int_{0}^{4} x^{2} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{4}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4}$ sur $4$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{4}))$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $4$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3

Annulez le facteur commun à $256$ et $4$ .

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Étape 9.2.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $256$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3.2.4

Divisez $64$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0^{4} - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - \frac{1}{4} \cdot 0 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.5

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + 0 (\frac{1}{4}) - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.6

Multipliez $0$ par $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + 0 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.7

Additionnez $64$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{4^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.8

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.9

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 9.2.3.10

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.10.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 9.2.3.10.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 9.2.3.10.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} - 0))$

Étape 9.2.3.11

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3} + 0))$

Étape 9.2.3.12

Additionnez $\frac{64}{3}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 3 (\frac{64}{3}))$

Étape 9.2.3.13

Associez $- 3$ et $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 3 \cdot 64}{3})$

Étape 9.2.3.14

Multipliez $- 3$ par $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 192}{3})$

Étape 9.2.3.15

Annulez le facteur commun à $- 192$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.15.1

Factorisez $3$ à partir de $- 192$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3})$

Étape 9.2.3.15.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.15.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3 (1)})$

Étape 9.2.3.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{3 \cdot - 64}{3 \cdot 1})$

Étape 9.2.3.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 + \frac{- 64}{1})$

Étape 9.2.3.15.2.4

Divisez $- 64$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (64 - 64)$

Étape 9.2.3.16

Soustrayez $64$ de $64$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 0} (0)$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4 + 0} \cdot 0$

Étape 10.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot 0$

Étape 11

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$A (x) = 0$

Étape 12