Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 3 x + 5$ , $[- 1, 2]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 1, 2]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} - 3 x + 5 d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\int_{- 1}^{2} x^{2} d x + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Étape 6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} + \int_{- 1}^{2} - 3 x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Étape 7

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 \int_{- 1}^{2} x d x + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + \int_{- 1}^{2} 5 d x)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}) + 5 x]_{- 1}^{2})$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Associez $\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{2}$ et $5 x]_{- 1}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} x^{3} + 5 x]_{- 1}^{2} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

Étape 11.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 11.2.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3} + 5 x$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{2}))$

Étape 11.2.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $2$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 5 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3

Simplifiez

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Étape 11.2.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{1}{3} \cdot 8 + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $8$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 5 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.3

Multipliez $5$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.4

Pour écrire $10$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.5

Associez $10$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 10 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.7.1

Multipliez $10$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{8 + 30}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.7.2

Additionnez $8$ et $30$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.8

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 1 + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (\frac{- 1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + 5 \cdot - 1) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.11

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.12

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} - 5 \cdot \frac{3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.13

Associez $- 5$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - (- \frac{1}{3} + \frac{- 5 \cdot 3}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 5 \cdot 3}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.15.1

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 1 - 15}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.15.2

Soustrayez $15$ de $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} - \frac{- 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.17

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + 1 (\frac{16}{3}) - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.18

Multipliez $\frac{16}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38}{3} + \frac{16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{38 + 16}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.20

Additionnez $38$ et $16$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{54}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.21

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 11.2.3.21.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.21.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18}{1} - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.21.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.22

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{4}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.23

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 11.2.3.23.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.23.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.2.3.23.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.23.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.23.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2}{1} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.23.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

Étape 11.2.3.24

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 - \frac{1}{2}))$

Étape 11.2.3.25

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))$

Étape 11.2.3.26

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))$

Étape 11.2.3.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2})$

Étape 11.2.3.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.28.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 \frac{4 - 1}{2})$

Étape 11.2.3.28.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - 3 (\frac{3}{2}))$

Étape 11.2.3.29

Associez $- 3$ et $\frac{3}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 3 \cdot 3}{2})$

Étape 11.2.3.30

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 + \frac{- 9}{2})$

Étape 11.2.3.31

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 - \frac{9}{2})$

Étape 11.2.3.32

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2})$

Étape 11.2.3.33

Associez $18$ et $\frac{2}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2})$

Étape 11.2.3.34

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{18 \cdot 2 - 9}{2})$

Étape 11.2.3.35

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.3.35.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{36 - 9}{2})$

Étape 11.2.3.35.2

Soustrayez $9$ de $36$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 1} (\frac{27}{2})$

Étape 12

Additionnez $2$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{2}$

Étape 13

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 13.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 (9)}{2}$

Étape 13.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{2}$

Étape 13.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{9}{2}$

Étape 14