Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 6 \sqrt{x}$ , $[4, 9]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[4, 9]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = 6 \sqrt{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 0}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[4, 9]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\int_{4}^{9} 6 \sqrt{x} d x)$

Étape 5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} \sqrt{x} d x)$

Étape 6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 \int_{4}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9}))$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{4}^{9}))$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ sur $9$ et sur $4$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2

Simplifiez

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Étape 8.2.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.5

Multipliez $2$ par $27$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.6

Annulez le facteur commun à $54$ et $3$ .

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Étape 8.2.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.6.2.4

Divisez $18$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}))$

Étape 8.2.2.8

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Étape 8.2.2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3}))$

Étape 8.2.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 2^{3}}{3}))$

Étape 8.2.2.10

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{2 \cdot 8}{3}))$

Étape 8.2.2.11

Multipliez $2$ par $8$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 - \frac{16}{3}))$

Étape 8.2.2.12

Pour écrire $18$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3}))$

Étape 8.2.2.13

Associez $18$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}))$

Étape 8.2.2.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{18 \cdot 3 - 16}{3}))$

Étape 8.2.2.15

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.2.15.1

Multipliez $18$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{54 - 16}{3}))$

Étape 8.2.2.15.2

Soustrayez $16$ de $54$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (6 (\frac{38}{3}))$

Étape 8.2.2.16

Associez $6$ et $\frac{38}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{6 \cdot 38}{3})$

Étape 8.2.2.17

Multipliez $6$ par $38$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{228}{3})$

Étape 8.2.2.18

Annulez le facteur commun à $228$ et $3$ .

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Étape 8.2.2.18.1

Factorisez $3$ à partir de $228$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3})$

Étape 8.2.2.18.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.18.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 (1)})$

Étape 8.2.2.18.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{3 \cdot 76}{3 \cdot 1})$

Étape 8.2.2.18.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (\frac{76}{1})$

Étape 8.2.2.18.2.4

Divisez $76$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{9 - 4} (76)$

Étape 9

Soustrayez $4$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 76$

Étape 10

Associez $\frac{1}{5}$ et $76$ .

$A (x) = \frac{76}{5}$

Étape 11