Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 \csc (x)$ , $0 < x < 2 π$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[0, 2 π]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = 5 \csc (x)$ .

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Étape 1.1

Définissez l’argument dans $\csc (x)$ égal à $π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq π n}$ , pour tout entier $n$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq π n}$ , pour tout entier $n$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 2 π]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (\int_{0}^{2 π} 5 \csc (x) d x)$

Étape 5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \int_{0}^{2 π} \csc (x) d x)$

Étape 6

L’intégrale de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{0}^{2 π}))$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Évaluez $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ sur $2 π$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 (\ln (| \csc (2 π) - \cot (2 π) |) - \ln (| \csc (0) - \cot (0) |)))$

Étape 7.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (2 π) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \csc (2 π) - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Étape 7.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.2.1

Réécrivez $\csc (2 π)$ en termes de sinus et de cosinus.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (2 π)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Étape 7.3.2.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Étape 7.3.2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Étape 7.3.2.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \csc (0) - \cot (0) |}))$

Étape 7.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.3.3.1

Réécrivez $\csc (0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{\sin (0)} - \cot (0) |}))$

Étape 7.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Étape 7.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (Undefined)$

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Étape 7.3.4

Annulez le facteur commun de $| \frac{1}{0} - \cot (0) |$ .

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Étape 7.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (\frac{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}{| \frac{1}{0} - \cot (0) |}))$

Étape 7.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \ln (1))$

Étape 7.3.5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (5 \cdot 0)$

Étape 7.3.6

Multipliez $5$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π - 0} (0)$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π + 0} \cdot 0$

Étape 8.2

Additionnez $2 π$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 π} \cdot 0$

Étape 9

Multipliez $\frac{1}{2 π}$ par $0$ .

$A (x) = 0$

Étape 10