Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x}$ , $[0, 5]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 5]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 + 8 {(2.71828182)}^{- 0.04 x} d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (\int_{0}^{5} 29 d x + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} 8 \cdot {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Étape 7

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{5} {2.71828182}^{- 0.04 x} d x)$

Étape 8

Laissez $u = - 0.04 x$ . Alors $d u = - 0.04 d x$ , donc $\frac{1}{- 0.04} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 8.1

Laissez $u = - 0.04 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 8.1.1

Différenciez $- 0.04 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 0.04 x]$

Étape 8.1.2

Comme $- 0.04$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 0.04 x$ par rapport à $x$ est $- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 0.04 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 8.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 0.04 \cdot 1$

Étape 8.1.4

Multipliez $- 0.04$ par $1$ .

$- 0.04$

Étape 8.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 0.04 x$ .

$u_{lower} = - 0.04 \cdot 0$

Étape 8.3

Multipliez $- 0.04$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 8.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 0.04 x$ .

$u_{upper} = - 0.04 \cdot 5$

Étape 8.5

Multipliez $- 0.04$ par $5$ .

$u_{upper} = - 0.2$

Étape 8.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 0.2$

Étape 8.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot \frac{1}{- 0.04} d u)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} \cdot (- \frac{1}{0.04}) d u)$

Étape 9.2

Associez ${2.71828182}^{u}$ et $\frac{1}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 \int_{0}^{- 0.2} - \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + 8 (- \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u))$

Étape 11

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 \int_{0}^{- 0.2} \frac{{2.71828182}^{u}}{0.04} d u)$

Étape 12

Comme $\frac{1}{0.04}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{0.04}$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - 8 (\frac{1}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u))$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Associez $\frac{1}{0.04}$ et $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} + \frac{- 8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Étape 13.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \int_{0}^{- 0.2} {2.71828182}^{u} d u)$

Étape 14

L’intégrale de ${2.71828182}^{u}$ par rapport à $u$ est $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8}{0.04} \cdot \frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})$

Étape 15

Simplifiez

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Étape 15.1

Associez $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ et $\frac{8}{0.04}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2} \cdot 8}{0.04})$

Étape 15.2

Déplacez $8$ à gauche de $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (29 x]_{0}^{5} - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Étape 16

Remplacez et simplifiez.

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Étape 16.1

Évaluez $29 x$ sur $5$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 (\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}]_{0}^{- 0.2})}{0.04})$

Étape 16.2

Évaluez $\frac{{2.71828182}^{u}}{\ln (2.71828182)}$ sur $- 0.2$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} ((29 \cdot 5) - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 16.3

Simplifiez

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Étape 16.3.1

Multipliez $29$ par $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - 29 \cdot 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 16.3.2

Multipliez $- 29$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 0 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 16.3.3

Additionnez $145$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 ((\frac{{2.71828182}^{- 0.2}}{\ln (2.71828182)}) - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 16.3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{{2.71828182}^{0.2}}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 16.3.5

Élevez $2.71828182$ à la puissance $0.2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 16.3.6

Réécrivez $\frac{\frac{1}{1.22140275}}{\ln (2.71828182)}$ comme un produit.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} \cdot \frac{1}{\ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 16.3.7

Multipliez $\frac{1}{1.22140275}$ par $\frac{1}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275 \ln (2.71828182)} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 16.3.8

Multipliez $1.22140275$ par $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{{2.71828182}^{0}}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 16.3.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{1}{1.22140275} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 17

Simplifiez

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1.1.1

Divisez $1$ par $1.22140275$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (0.81873075 - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 17.1.1.2

Pour écrire $0.81873075$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182)}{\ln (2.71828182)} - \frac{1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 17.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 \ln (2.71828182) - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 17.1.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1.1.4.1

Multipliez $0.81873075$ par $\ln (2.71828182)$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{0.81873075 - 1}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 17.1.1.4.2

Soustrayez $1$ de $0.81873075$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (\frac{- 0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 17.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\ln (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 17.1.1.6

Remplacez $e$ par une approximation.

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{\log_{2.71828182} (2.71828182)})}{0.04})$

Étape 17.1.1.7

La base logarithmique $2.71828182$ de $2.71828182$ est approximativement $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- \frac{0.18126924}{0.99999999})}{0.04})$

Étape 17.1.1.8

Divisez $0.18126924$ par $0.99999999$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 (- 1 \cdot 0.18126924)}{0.04})$

Étape 17.1.1.9

Multipliez $- 1$ par $0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{8 \cdot - 0.18126924}{0.04})$

Étape 17.1.2

Multipliez $8$ par $- 0.18126924$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 - \frac{- 1.45015397}{0.04})$

Étape 17.1.3

Divisez $- 1.45015397$ par $0.04$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Étape 17.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (145 + 36.25384939)$

Étape 17.2

Additionnez $145$ et $36.25384939$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 0} (181.25384939)$

Étape 18

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 18.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5 + 0} \cdot 181.25384939$

Étape 18.2

Additionnez $5$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{5} \cdot 181.25384939$

Étape 19

Associez les fractions.

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Étape 19.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $181.25384939$ .

$A (x) = \frac{181.25384939}{5}$

Étape 19.2

Divisez $181.25384939$ par $5$ .

$A (x) = 36.25076987$

Étape 20