Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 25 - x^{2}$ , $(0, 10)$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 10]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} 25 - x^{2} d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} 25 d x + \int_{0}^{10} - x^{2} d x)$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (25 x]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - x^{2} d x)$

Étape 7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (25 x]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} x^{2} d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (25 x]_{0}^{10} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{10}))$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (25 x]_{0}^{10} - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}))$

Étape 9.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.2.1

Évaluez $25 x$ sur $10$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} ((25 \cdot 10) - 25 \cdot 0 - (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{10}))$

Étape 9.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $10$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (25 \cdot 10 - 25 \cdot 0 - (\frac{10^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3

Simplifiez

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Étape 9.2.3.1

Multipliez $25$ par $10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - 25 \cdot 0 - (\frac{10^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $- 25$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 + 0 - (\frac{10^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.3

Additionnez $250$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - (\frac{10^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.4

Élevez $10$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - (\frac{1000}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Étape 9.2.3.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - (\frac{1000}{3} - \frac{0}{3}))$

Étape 9.2.3.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.2.3.6.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - (\frac{1000}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Étape 9.2.3.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.2.3.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - (\frac{1000}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Étape 9.2.3.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - (\frac{1000}{3} - \frac{0}{1}))$

Étape 9.2.3.6.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - (\frac{1000}{3} - 0))$

Étape 9.2.3.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - (\frac{1000}{3} + 0))$

Étape 9.2.3.8

Additionnez $\frac{1000}{3}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 - \frac{1000}{3})$

Étape 9.2.3.9

Pour écrire $250$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (250 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1000}{3})$

Étape 9.2.3.10

Associez $250$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\frac{250 \cdot 3}{3} - \frac{1000}{3})$

Étape 9.2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\frac{250 \cdot 3 - 1000}{3})$

Étape 9.2.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.2.3.12.1

Multipliez $250$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\frac{750 - 1000}{3})$

Étape 9.2.3.12.2

Soustrayez $1000$ de $750$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\frac{- 250}{3})$

Étape 9.2.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- \frac{250}{3})$

Étape 10

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot (- \frac{250}{3})$

Étape 10.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (- \frac{250}{3})$

Étape 11

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 11.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 11.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{250}{3}$ dans le numérateur.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{- 250}{3}$

Étape 11.1.2

Factorisez $10$ à partir de $- 250$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{10 (- 25)}{3}$

Étape 11.1.3

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{10 \cdot - 25}{3}$

Étape 11.1.4

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{- 25}{3}$

Étape 11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = - \frac{25}{3}$

Étape 12