Calcul infinitésimal Exemples

$y = - x + 2 \cos (x)$

Étape 1

Écrivez $y = - x + 2 \cos (x)$ comme une fonction.

$f (x) = - x + 2 \cos (x)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x + 2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 1 + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- 1 + 2 (- \sin (x))$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 1 - 2 \sin (x)$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 - 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 3.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x))$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \cos (x)$

Étape 3.3

Soustrayez $2 \cos (x)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x)$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- 1 - 2 \sin (x) = 0$

Étape 5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 \sin (x) = 1$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $- 2 \sin (x) = 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{1}{- 2}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 2}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Étape 7

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Étape 8

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1

La valeur exacte de $\arcsin (- \frac{1}{2})$ est $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Étape 9

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Étape 10

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 10.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Étape 10.2

L’angle résultant de $\frac{7 π}{6}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Étape 11

La solution de l’équation est $x = - \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 13.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 13.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Étape 13.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 \sqrt{3}$

Étape 13.5

Réécrivez $- 1 \sqrt{3}$ comme $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3}$

Étape 14

$x = - \frac{π}{6}$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{π}{6}$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{π}{6}$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- \frac{π}{6}$ dans l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = - (- \frac{π}{6}) + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Multipliez $- (- \frac{π}{6})$ .

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Étape 15.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = 1 (\frac{π}{6}) + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 15.2.1.1.2

Multipliez $\frac{π}{6}$ par $1$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (- \frac{π}{6})$

Étape 15.2.1.2

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (\frac{11 π}{6})$

Étape 15.2.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 \cos (\frac{π}{6})$

Étape 15.2.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 15.2.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 15.2.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{π}{6}) = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 15.2.2

La réponse finale est $\frac{π}{6} + \sqrt{3}$ .

$y = \frac{π}{6} + \sqrt{3}$

Étape 16

Évaluez la dérivée seconde sur $x = \frac{7 π}{6}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 17

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 17.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 17.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 17.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 17.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Étape 17.3.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 (- \sqrt{3})$

Étape 17.4

Multipliez.

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Étape 17.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \sqrt{3}$

Étape 17.4.2

Multipliez $\sqrt{3}$ par $1$ .

$\sqrt{3}$

Étape 18

$x = \frac{7 π}{6}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = \frac{7 π}{6}$ est un minimum local

Étape 19

Déterminez la valeur y quand $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Étape 19.1

Remplacez la variable $x$ par $\frac{7 π}{6}$ dans l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = - (\frac{7 π}{6}) + 2 \cos (\frac{7 π}{6})$

Étape 19.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 19.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.2.1.1

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (- \cos (\frac{π}{6}))$

Étape 19.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ dans le numérateur.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Étape 19.2.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{7 π}{6}) = - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 19.2.2

La réponse finale est $- \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$ .

$y = - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3}$

Étape 20

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = - x + 2 \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{6}, \frac{π}{6} + \sqrt{3})$ est un maximum local

$(\frac{7 π}{6}, - \frac{7 π}{6} - \sqrt{3})$ est un minimum local

Étape 21