Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + e^{- 5 x}$

Étape 1

Écrivez $y = x + e^{- 5 x}$ comme une fonction.

$f (x) = x + e^{- 5 x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 5 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 5 x$ .

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 2.2.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Étape 2.2.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Étape 2.2.5

Déplacez $- 5$ à gauche de $e^{- 5 x}$ .

$1 - 5 e^{- 5 x}$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 5 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Étape 3.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 5 e^{- 5 x})$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 e^{- 5 x}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 5 \frac{d}{d x} e^{- 5 x}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 5 x$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 5 x$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} (- 5 x))$

Étape 3.2.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} x))$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1))$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (e^{- 5 x} \cdot - 5)$

Étape 3.2.6

Déplacez $- 5$ à gauche de $e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- 5 \cdot e^{- 5 x})$

Étape 3.2.7

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$f'' (x) = 0 + 25 e^{- 5 x}$

Étape 3.3

Additionnez $0$ et $25 e^{- 5 x}$ .

$f'' (x) = 25 e^{- 5 x}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + e^{- 5 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 5 x$ .

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Étape 5.1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 5 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 5 x$ .

$1 + e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Étape 5.1.2.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 + e^{- 5 x} \cdot - 5$

Étape 5.1.2.5

Déplacez $- 5$ à gauche de $e^{- 5 x}$ .

$f' (x) = 1 - 5 e^{- 5 x}$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $1 - 5 e^{- 5 x}$ .

$1 - 5 e^{- 5 x}$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $1 - 5 e^{- 5 x} = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$1 - 5 e^{- 5 x} = 0$

Étape 6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 e^{- 5 x} = - 1$

Étape 6.3

Divisez chaque terme dans $- 5 e^{- 5 x} = - 1$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 6.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 e^{- 5 x} = - 1$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 e^{- 5 x}}{- 5} = \frac{- 1}{- 5}$

Étape 6.3.2.1.2

Divisez $e^{- 5 x}$ par $1$ .

$e^{- 5 x} = \frac{- 1}{- 5}$

Étape 6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$e^{- 5 x} = \frac{1}{5}$

Étape 6.4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 5 x}) = \ln (\frac{1}{5})$

Étape 6.5

Développez le côté gauche.

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Étape 6.5.1

Développez $\ln (e^{- 5 x})$ en déplaçant $- 5 x$ hors du logarithme.

$- 5 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{5})$

Étape 6.5.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 5 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{5})$

Étape 6.5.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$

Étape 6.6

Divisez chaque terme dans $- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ par $- 5$ et simplifiez.

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Étape 6.6.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x = \ln (\frac{1}{5})$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

Étape 6.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.6.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

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Étape 6.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

Étape 6.6.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{5})}{- 5}$

Étape 6.6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.6.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$25 e^{- 5 (- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5})}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ dans le numérateur.

$25 e^{- 5 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

Étape 10.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5$ .

$25 e^{5 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

Étape 10.1.3

Annulez le facteur commun.

$25 e^{5 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{5})}{5}}$

Étape 10.1.4

Réécrivez l’expression.

$25 e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{5}))}$

Étape 10.2

Multipliez.

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Étape 10.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$25 e^{1 \ln (\frac{1}{5})}$

Étape 10.2.2

Multipliez $\ln (\frac{1}{5})$ par $1$ .

$25 e^{\ln (\frac{1}{5})}$

Étape 10.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$25 (\frac{1}{5})$

Étape 10.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 10.4.1

Factorisez $5$ à partir de $25$ .

$5 (5) \frac{1}{5}$

Étape 10.4.2

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 5 \frac{1}{5}$

Étape 10.4.3

Réécrivez l’expression.

$5$

Étape 11

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ est un minimum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = - \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ .

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Étape 12.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ to substitute in $f (x) = x + e^{- 5 x}$ .

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Étape 12.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}$ comme $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ .

$y = - (\frac{1}{5} \cdot \ln (\frac{1}{5}))$

Étape 12.1.2

Simplifiez $\frac{1}{5} \ln (\frac{1}{5})$ en déplaçant $\frac{1}{5}$ dans le logarithme.

$y = - \ln ({(\frac{1}{5})}^{\frac{1}{5}})$

Étape 12.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5}$ .

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{5}}}{5^{\frac{1}{5}}})$

Étape 12.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$

Étape 12.2

Remplacez la variable $x$ par $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ dans l’expression.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) + e^{- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))}$

Étape 12.3

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.3.1.1

Multipliez $- 5 (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}))$ .

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Étape 12.3.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}$

Étape 12.3.1.1.2

Simplifiez $5 \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + e^{\ln ({(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5})}$

Étape 12.3.1.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + {(\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})}^{5}$

Étape 12.3.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1^{5}}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 12.3.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{{(5^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Étape 12.3.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.3.1.5.1

Multipliez les exposants dans ${(5^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 12.3.1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 12.3.1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 12.3.1.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Étape 12.3.1.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

Étape 12.3.1.5.2

Évaluez l’exposant.

$f (- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}})) = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

Étape 12.3.2

La réponse finale est $- \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$ .

$y = - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5}$

Étape 13

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + e^{- 5 x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{5})}{5}, - \ln (\frac{1}{5^{\frac{1}{5}}}) + \frac{1}{5})$ est un minimum local

Étape 14