Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + \frac{16}{x^{2} + 4}$

Étape 1

Écrivez $y = x + \frac{16}{x^{2} + 4}$ comme une fonction.

$f (x) = x + \frac{16}{x^{2} + 4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{16}{x^{2} + 4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{2} + 4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{2} + 4}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{2} + 4}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{2} + 4}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{16}{x^{2} + 4}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 4}]$ .

$1 + 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 4}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 4}$ comme ${(x^{2} + 4)}^{- 1}$ .

$1 + 16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{- 1}]$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$1 + 16 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Étape 2.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]))$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [4]))$

Étape 2.2.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} (2 x + 0))$

Étape 2.2.7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} (2 x))$

Étape 2.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 + 16 (- 2 {(x^{2} + 4)}^{- 2} x)$

Étape 2.2.9

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$1 - 32 {(x^{2} + 4)}^{- 2} x$

Étape 2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 32 \frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{2}} x$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Associez des termes.

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Étape 2.4.1.1

Associez $- 32$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$1 + \frac{- 32}{{(x^{2} + 4)}^{2}} x$

Étape 2.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{32}{{(x^{2} + 4)}^{2}} x$

Étape 2.4.1.3

Associez $x$ et $\frac{32}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$1 - \frac{x \cdot 32}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2.4.1.4

Déplacez $32$ à gauche de $x$ .

$1 - \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 1$

Étape 3

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- 32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 3.2.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \cdot 1 - x (2 (x^{2} + 4) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.8

Multipliez ${(x^{2} + 4)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 (x^{2} + 4) (2 x + 0))}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.9

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (2 (x^{2} + 4) (2 x))}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.10

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - x (4 (x^{2} + 4) x)}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.11

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x ((x^{2} + 4) x)}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.12

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 4)}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 4 (x \cdot x) (x^{2} + 4)}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{1 + 1} (x^{2} + 4)}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.15

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 4)}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.16

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.2.16.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.16.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.17

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{2} - 4 x^{2} (x^{2} + 4)$ .

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Étape 3.2.17.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) - 4 x^{2} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.17.2

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $- 4 x^{2} (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 4 x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.17.3

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4) + (x^{2} + 4) (- 4 x^{2})$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{(x^{2} + 4) (x^{2} + 4 - 4 x^{2})}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.18

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{(x^{2} + 4) (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{4}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.19.1

Factorisez $x^{2} + 4$ à partir de ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = - 32 \frac{(x^{2} + 4) (- 3 x^{2} + 4)}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = - 32 \frac{(x^{2} + 4) (- 3 x^{2} + 4)}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = - 32 \frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.20

Associez $- 32$ et $\frac{- 3 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.2.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + 0$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2}) + 32 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + 0$

Étape 3.4.2

Associez des termes.

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $- 3$ par $32$ .

$f'' (x) = - \frac{- 96 x^{2} + 32 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + 0$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $32$ par $4$ .

$f'' (x) = - \frac{- 96 x^{2} + 128}{{(x^{2} + 4)}^{3}} + 0$

Étape 3.4.2.3

Additionnez $- \frac{- 96 x^{2} + 128}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = - \frac{- 96 x^{2} + 128}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3.4.3

Factorisez $32$ à partir de $- 96 x^{2} + 128$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $32$ à partir de $- 96 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2}) + 128}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $32$ à partir de $128$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2}) + 32 (4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $32$ à partir de $32 (- 3 x^{2}) + 32 (4)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3.4.5

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3.4.7

Réécrivez $- (3 x^{2} - 4)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 4)$ .

$f'' (x) = - \frac{32 (- 1 (3 x^{2} - 4))}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3.4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 3.4.9

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{32 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}})$

Étape 3.4.10

Multipliez $\frac{32 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} - 4)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 4

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 1 = 0$

Étape 5

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 5.1.1

Différenciez.

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Étape 5.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{16}{x^{2} + 4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{2} + 4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{2} + 4}]$

Étape 5.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{2} + 4}]$

Étape 5.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{2} + 4}]$ .

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Étape 5.1.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{16}{x^{2} + 4}$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 4}]$ .

$1 + 16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 4}]$

Étape 5.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2} + 4}$ comme ${(x^{2} + 4)}^{- 1}$ .

$1 + 16 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 4)}^{- 1}]$

Étape 5.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2} + 4$ .

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Étape 5.1.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} + 4$ .

$1 + 16 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Étape 5.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 + 16 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Étape 5.1.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 4$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 4])$

Étape 5.1.2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]))$

Étape 5.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [4]))$

Étape 5.1.2.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} (2 x + 0))$

Étape 5.1.2.7

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$1 + 16 (- {(x^{2} + 4)}^{- 2} (2 x))$

Étape 5.1.2.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 + 16 (- 2 {(x^{2} + 4)}^{- 2} x)$

Étape 5.1.2.9

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$1 - 32 {(x^{2} + 4)}^{- 2} x$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - 32 \frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{2}} x$

Étape 5.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1.1

Associez $- 32$ et $\frac{1}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$1 + \frac{- 32}{{(x^{2} + 4)}^{2}} x$

Étape 5.1.4.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 - \frac{32}{{(x^{2} + 4)}^{2}} x$

Étape 5.1.4.1.3

Associez $x$ et $\frac{32}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$1 - \frac{x \cdot 32}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.1.4

Déplacez $32$ à gauche de $x$ .

$1 - \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Étape 5.1.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 1$

Étape 5.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 1$ .

$- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 1$

Étape 6

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 6.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{32 x}{{(x^{2} + 4)}^{2}} + 1 = 0$

Étape 6.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x \approx 0.59119548, 2$

Étape 7

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 7.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 8

Points critiques à évaluer.

$x = 0.59119548, 2$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0.59119548$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{32 (3 {(0.59119548)}^{2} - 4)}{{({(0.59119548)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 10

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Élevez $0.59119548$ à la puissance $2$ .

$\frac{32 (3 \cdot 0.3495121 - 4)}{{({0.59119548}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $3$ par $0.3495121$ .

$\frac{32 (1.0485363 - 4)}{{({0.59119548}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 10.1.3

Soustrayez $4$ de $1.0485363$ .

$\frac{32 \cdot - 2.95146369}{{({0.59119548}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Élevez $0.59119548$ à la puissance $2$ .

$\frac{32 \cdot - 2.95146369}{{(0.3495121 + 4)}^{3}}$

Étape 10.2.2

Additionnez $0.3495121$ et $4$ .

$\frac{32 \cdot - 2.95146369}{{4.3495121}^{3}}$

Étape 10.2.3

Élevez $4.3495121$ à la puissance $3$ .

$\frac{32 \cdot - 2.95146369}{82.28518132}$

Étape 10.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.3.1

Multipliez $32$ par $- 2.95146369$ .

$\frac{- 94.44683825}{82.28518132}$

Étape 10.3.2

Divisez $- 94.44683825$ par $82.28518132$ .

$- 1.14779887$

Étape 11

$x = 0.59119548$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0.59119548$ est un maximum local

Étape 12

Déterminez la valeur y quand $x = 0.59119548$ .

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Étape 12.1

Remplacez la variable $x$ par $0.59119548$ dans l’expression.

$f (0.59119548) = (0.59119548) + \frac{16}{{(0.59119548)}^{2} + 4}$

Étape 12.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 12.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.2.1.1.1

Élevez $0.59119548$ à la puissance $2$ .

$f (0.59119548) = 0.59119548 + \frac{16}{0.3495121 + 4}$

Étape 12.2.1.1.2

Additionnez $0.3495121$ et $4$ .

$f (0.59119548) = 0.59119548 + \frac{16}{4.3495121}$

Étape 12.2.1.2

Divisez $16$ par $4.3495121$ .

$f (0.59119548) = 0.59119548 + 3.67857351$

Étape 12.2.2

Additionnez $0.59119548$ et $3.67857351$ .

$f (0.59119548) = 4.26976899$

Étape 12.2.3

La réponse finale est $4.26976899$ .

$y = 4.26976899$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{32 (3 {(2)}^{2} - 4)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 14

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 14.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{32 (3 \cdot 4 - 4)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 14.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{32 (12 - 4)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 14.1.3

Soustrayez $4$ de $12$ .

$\frac{32 \cdot 8}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Étape 14.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 14.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{32 \cdot 8}{{(4 + 4)}^{3}}$

Étape 14.2.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{32 \cdot 8}{8^{3}}$

Étape 14.2.3

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\frac{32 \cdot 8}{512}$

Étape 14.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 14.3.1

Multipliez $32$ par $8$ .

$\frac{256}{512}$

Étape 14.3.2

Annulez le facteur commun à $256$ et $512$ .

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Étape 14.3.2.1

Factorisez $256$ à partir de $256$ .

$\frac{256 (1)}{512}$

Étape 14.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.3.2.2.1

Factorisez $256$ à partir de $512$ .

$\frac{256 \cdot 1}{256 \cdot 2}$

Étape 14.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{256 \cdot 1}{256 \cdot 2}$

Étape 14.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2}$

Étape 15

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 16

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

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Étape 16.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = (2) + \frac{16}{{(2)}^{2} + 4}$

Étape 16.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 16.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 16.2.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 16.2.1.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = 2 + \frac{16}{4 + 4}$

Étape 16.2.1.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$f (2) = 2 + \frac{16}{8}$

Étape 16.2.1.2

Divisez $16$ par $8$ .

$f (2) = 2 + 2$

Étape 16.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f (2) = 4$

Étape 16.2.3

La réponse finale est $4$ .

$y = 4$

Étape 17

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + \frac{16}{x^{2} + 4}$ .

$(0.59119548, 4.26976899)$ est un maximum local

$(2, 4)$ est un minimum local

Étape 18