Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2$ , $[- 4, 0]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 4, 0]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} + 2 x + 2 d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\int_{- 4}^{0} \frac{x^{2}}{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Étape 6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \int_{- 4}^{0} x^{2} d x + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} 2 x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 \int_{- 4}^{0} x d x + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + \int_{- 4}^{0} 2 d x)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} x^{3}]_{- 4}^{0} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $\frac{1}{3} x^{3}$ sur $0$ et sur $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot ((\frac{1}{3} \cdot 0^{3}) - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

Étape 12.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $0$ et sur $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 x]_{- 4}^{0})$

Étape 12.3

Évaluez $2 x$ sur $0$ et sur $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4

Simplifiez

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Étape 12.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{3} \cdot 0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.3

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 - \frac{1}{3} \cdot - 64) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.4

Multipliez $- 64$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + 64 (\frac{1}{3})) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.5

Associez $64$ et $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot (0 + \frac{64}{3}) + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.6

Additionnez $0$ et $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{64}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.7

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{64}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.8

Multipliez $2$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{64}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.9

Annulez le facteur commun à $64$ et $6$ .

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Étape 12.4.9.1

Factorisez $2$ à partir de $64$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 (32)}{6} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.4.9.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.9.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.9.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.10

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.11

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 12.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.11.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.12

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{16}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.13

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 12.4.13.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.4.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - \frac{8}{1}) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.13.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 1 \cdot 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.14

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 (0 - 8) + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.15

Soustrayez $8$ de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + 2 \cdot - 8 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.16

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.17

Pour écrire $- 16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.18

Associez $- 16$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 16 \cdot 3}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.20.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{32 - 48}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.20.2

Soustrayez $48$ de $32$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.21

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 2 \cdot 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.22

Multipliez $2$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 - 2 \cdot - 4)$

Étape 12.4.23

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 0 + 8)$

Étape 12.4.24

Additionnez $0$ et $8$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8)$

Étape 12.4.25

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 12.4.26

Associez $8$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (- \frac{16}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3})$

Étape 12.4.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 8 \cdot 3}{3})$

Étape 12.4.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.4.28.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{- 16 + 24}{3})$

Étape 12.4.28.2

Additionnez $- 16$ et $24$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 4} (\frac{8}{3})$

Étape 13

Additionnez $0$ et $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{3}$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 14.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (2)}{3}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 2}{3}$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{2}{3}$

Étape 15