Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = (2 x - 1) (x + 4)$ , $(1, 5)$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[1, 5]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} (2 x - 1) (x + 4) d x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x (x + 4) - 1 (x + 4) d x)$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 (x + 4) d x)$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Étape 5.4

Déplacez $x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Étape 5.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Étape 5.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Étape 5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Étape 5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Étape 5.9

Multipliez $2$ par $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 1 \cdot 4 d x)$

Étape 5.10

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 8 x - 1 x - 4 d x)$

Étape 5.11

Soustrayez $1 x$ de $8 x$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} + 7 x - 4 d x)$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\int_{1}^{5} 2 x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Étape 7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 \int_{1}^{5} x^{2} d x + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Étape 8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Étape 9

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} 7 x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Étape 10

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 \int_{1}^{5} x d x + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Étape 12

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + \int_{1}^{5} - 4 d x)$

Étape 13

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{5}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Étape 14

Remplacez et simplifiez.

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Étape 14.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $5$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 ((\frac{5^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{5}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Étape 14.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $5$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) + - 4 x]_{1}^{5})$

Étape 14.3

Évaluez $- 4 x$ sur $5$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{5^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4

Simplifiez

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Étape 14.4.1

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125}{3} - \frac{1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{125 - 1}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.4

Soustrayez $1$ de $125$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (2 (\frac{124}{3}) + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.5

Associez $2$ et $\frac{124}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{2 \cdot 124}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.6

Multipliez $2$ par $124$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{5^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.7

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.8

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25}{2} - \frac{1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{25 - 1}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.10

Soustrayez $1$ de $25$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{24}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.11

Annulez le facteur commun à $24$ et $2$ .

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Étape 14.4.11.1

Factorisez $2$ à partir de $24$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 14.4.11.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 (1)}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 (\frac{12}{1}) - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.11.2.4

Divisez $12$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 7 \cdot 12 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.12

Multipliez $7$ par $12$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.13

Pour écrire $84$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + 84 \cdot \frac{3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.14

Associez $84$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248}{3} + \frac{84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 84 \cdot 3}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.16

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.4.16.1

Multipliez $84$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{248 + 252}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.16.2

Additionnez $248$ et $252$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 4 \cdot 5 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.17

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4 \cdot 1)$

Étape 14.4.18

Multipliez $4$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 20 + 4)$

Étape 14.4.19

Additionnez $- 20$ et $4$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16)$

Étape 14.4.20

Pour écrire $- 16$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} - 16 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 14.4.21

Associez $- 16$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3})$

Étape 14.4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 16 \cdot 3}{3})$

Étape 14.4.23

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.4.23.1

Multipliez $- 16$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{500 - 48}{3})$

Étape 14.4.23.2

Soustrayez $48$ de $500$ .

$A (x) = \frac{1}{5 - 1} (\frac{452}{3})$

Étape 15

Soustrayez $1$ de $5$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{452}{3}$

Étape 16

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 16.1

Factorisez $4$ à partir de $452$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 (113)}{3}$

Étape 16.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4 \cdot 113}{3}$

Étape 16.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{113}{3}$

Étape 17