Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - t^{2} + 2 t + 31$ , $[0, 10]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 10]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (\int_{0}^{10} - t^{2} + 2 t + 31 d x)$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} ((- t^{2} + 2 t + 31) x]_{0}^{10})$

Étape 6

Remplacez et simplifiez.

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Étape 6.1

Évaluez $(- t^{2} + 2 t + 31) x$ sur $10$ et sur $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (((- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 10) - (- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 0)$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Déplacez $10$ à gauche de $- t^{2} + 2 t + 31$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 \cdot (- t^{2} + 2 t + 31) - (- t^{2} + 2 t + 31) \cdot 0)$

Étape 6.2.2

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31) + 0 (- t^{2} + 2 t + 31))$

Étape 6.2.3

Multipliez $0$ par $- t^{2} + 2 t + 31$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31) + 0)$

Étape 6.2.4

Additionnez $10 (- t^{2} + 2 t + 31)$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2} + 2 t + 31))$

Étape 7

Simplifiez

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (10 (- t^{2}) + 10 (2 t) + 10 \cdot 31)$

Étape 7.2

Simplifiez

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Étape 7.2.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 10 (2 t) + 10 \cdot 31)$

Étape 7.2.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 20 t + 10 \cdot 31)$

Étape 7.2.3

Multipliez $10$ par $31$ .

$A (x) = \frac{1}{10 - 0} (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

Étape 8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10 + 0} \cdot (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

Étape 8.2

Additionnez $10$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (- 10 t^{2} + 20 t + 310)$

Étape 9

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (- 10 t^{2}) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Étape 10

Simplifiez

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Étape 10.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $10$ à partir de $- 10 t^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (- t^{2})) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Étape 10.1.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (- t^{2})) + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Étape 10.1.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (20 t) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Étape 10.2

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 10.2.1

Factorisez $10$ à partir de $20 t$ .

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (10 (2 t)) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Étape 10.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = - t^{2} + \frac{1}{10} \cdot (10 (2 t)) + \frac{1}{10} \cdot 310$

Étape 10.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot 310$

Étape 10.3

Annulez le facteur commun de $10$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $10$ à partir de $310$ .

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot (10 (31))$

Étape 10.3.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = - t^{2} + 2 t + \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 31)$

Étape 10.3.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = - t^{2} + 2 t + 31$

Étape 11