Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ , $[- 3, 3]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[- 3, 3]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 9}$ .

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4}{x^{2} + 9}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + 9 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 9$

Étape 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 9}$ .

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Étape 1.2.3.1

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

Étape 1.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (9)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

Étape 1.2.3.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 3$

Étape 1.2.3.6

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 3 i$

Étape 1.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3 i$

Étape 1.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3 i$

Étape 1.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3 i, - 3 i$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 3, 3]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\int_{- 3}^{3} \frac{4}{x^{2} + 9} d x)$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{x^{2} + 9} d x)$

Étape 6

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{9 + x^{2}} d x)$

Étape 6.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 \int_{- 3}^{3} \frac{1}{3^{2} + x^{2}} d x)$

Étape 7

L’intégrale de $\frac{1}{3^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{1}{3} \cdot \arctan (\frac{x}{3})]_{- 3}^{3}))$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\arctan (\frac{x}{3})$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}]_{- 3}^{3}))$

Étape 8.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.2.1

Évaluez $\frac{\arctan (\frac{x}{3})}{3}$ sur $3$ et sur $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 ((\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3}) - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

Étape 8.2.2

Simplifiez

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Étape 8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (\frac{3}{3})}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

Étape 8.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 3}{3})}{3}))$

Étape 8.2.2.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 8.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3})}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)})}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1})}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{3}))$

Étape 8.2.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1)}{3} - \frac{\arctan (- 1)}{3}))$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{3}))$

Étape 9.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{3}))$

Étape 9.2.2

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

Étape 9.2.3

Multipliez $- - \frac{π}{4}$ .

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Étape 9.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{3}))$

Étape 9.2.3.2

Multipliez $\frac{π}{4}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{3}))$

Étape 9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π + π}{4}}{3}))$

Étape 9.4

Additionnez $π$ et $π$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{4}}{3}))$

Étape 9.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 9.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{3}))$

Étape 9.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

Étape 9.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{3}))$

Étape 9.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{\frac{π}{2}}{3}))$

Étape 9.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}))$

Étape 9.7

Multipliez $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 9.7.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Étape 9.7.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (4 (\frac{π}{6}))$

Étape 9.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (2) (\frac{π}{6}))$

Étape 9.8.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Étape 9.8.3

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 \cdot (2 (\frac{π}{2 \cdot 3})))$

Étape 9.8.4

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (2 (\frac{π}{3}))$

Étape 9.9

Associez $2$ et $\frac{π}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 + 3} (\frac{2 π}{3})$

Étape 10

Additionnez $3$ et $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 11

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 11.2

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{2 (π)}{3}$

Étape 11.3

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 π}{3}$

Étape 11.4

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{π}{3}$

Étape 12

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{π}{3}$ .

$A (x) = \frac{π}{3 \cdot 3}$

Étape 13

Multipliez $3$ par $3$ .

$A (x) = \frac{π}{9}$

Étape 14