Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ , $[2, 4]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[2, 4]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ .

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Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 (x + 1)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[2, 4]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (\int_{2}^{4} \frac{4 (x + 1)}{x^{2}} d x)$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} \frac{x + 1}{x^{2}} d x)$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} (x + 1) x^{- 2} d x)$

Étape 7

Multipliez $(x + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.1.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

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Étape 8.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Étape 8.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Étape 8.1.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x)$

Étape 8.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \int_{2}^{4} x^{- 1} + x^{- 2} d x)$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\int_{2}^{4} x^{- 1} d x + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Étape 10

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} x^{- 2} d x))$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |)]_{2}^{4} + - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $\ln (| x |)]_{2}^{4}$ et $- x^{- 1}]_{2}^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| x |) - x^{- 1}]_{2}^{4}))$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\ln (| x |) - x^{- 1}$ sur $4$ et sur $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 ((\ln (| 4 |) - 4^{- 1}) - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Étape 12.2.2

Simplifiez

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Étape 12.2.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - 2^{- 1})))$

Étape 12.2.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})))$

Étape 12.2.2.3

Pour écrire $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot \frac{4}{4}))$

Étape 12.2.2.4

Associez $- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})$ et $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) - \frac{1}{4} + \frac{- (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Étape 12.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2}) \cdot 4}{4}))$

Étape 12.2.2.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (| 4 |) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $4$ est $4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (4) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Étape 13.1.2

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\ln (2^{2}) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Étape 13.1.3

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (| 2 |) - \frac{1}{2})}{4}))$

Étape 13.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.4.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 (\ln (2) - \frac{1}{2})}{4}))$

Étape 13.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (- \frac{1}{2})}{4}))$

Étape 13.1.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.1.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 4 (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Étape 13.1.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 (- 2) (\frac{- 1}{2})}{4}))$

Étape 13.1.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2 \cdot (- 2 (\frac{- 1}{2}))}{4}))$

Étape 13.1.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) - 2 \cdot - 1}{4}))$

Étape 13.1.4.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{- 1 - 4 \ln (2) + 2}{4}))$

Étape 13.1.4.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Étape 13.2

Pour écrire $2 \ln (2)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (2 \ln (2) \cdot \frac{4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Étape 13.3

Associez $2 \ln (2)$ et $\frac{4}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4}{4} + \frac{1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Étape 13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Étape 13.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 13.5.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 (\frac{2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2)}{4}))$

Étape 13.5.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (2 \ln (2) \cdot 4 + 1 - 4 \ln (2))$

Étape 13.6

Multipliez $4$ par $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (8 \ln (2) + 1 - 4 \ln (2))$

Étape 13.7

Soustrayez $4 \ln (2)$ de $8 \ln (2)$ .

$A (x) = \frac{1}{4 - 2} (4 \ln (2) + 1)$

Étape 14

Soustrayez $2$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 \ln (2) + 1)$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Simplifiez $4 \ln (2)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (2^{4}) + 1)$

Étape 15.2

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (\ln (16) + 1)$

Étape 16

Appliquez la propriété distributive.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \ln (16) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 17

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (16)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 18

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$A (x) = \ln (16^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Étape 19

Simplifiez chaque terme.

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Étape 19.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$A (x) = \ln ({(4^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{2}$

Étape 19.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Étape 19.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 19.3.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \ln (4^{2 (\frac{1}{2})}) + \frac{1}{2}$

Étape 19.3.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Étape 19.4

Évaluez l’exposant.

$A (x) = \ln (4) + \frac{1}{2}$

Étape 20