Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ , $[1, 3]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[1, 3]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 0}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[1, 3]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\int_{1}^{3} \frac{4 (x^{2} + 1)}{x^{2}} d x)$

Étape 5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} \frac{x^{2} + 1}{x^{2}} d x)$

Étape 6

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x)$

Étape 6.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x)$

Étape 6.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} (x^{2} + 1) x^{- 2} d x)$

Étape 7

Multipliez $(x^{2} + 1) x^{- 2}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Étape 8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{2 - 2} + 1 x^{- 2} d x)$

Étape 8.1.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} x^{0} + 1 x^{- 2} d x)$

Étape 8.2

Simplifiez $x^{0}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + 1 x^{- 2} d x)$

Étape 8.3

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 \int_{1}^{3} 1 + x^{- 2} d x)$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\int_{1}^{3} d x + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + \int_{1}^{3} x^{- 2} d x))$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x]_{1}^{3} + - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Associez $x]_{1}^{3}$ et $- x^{- 1}]_{1}^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (x - x^{- 1}]_{1}^{3}))$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Évaluez $x - x^{- 1}$ sur $3$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 ((3 - 3^{- 1}) - (1 - 1^{- 1})))$

Étape 12.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Étape 12.2.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (3 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Étape 12.2.2.3

Associez $3$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Étape 12.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{3 \cdot 3 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Étape 12.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.2.5.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{9 - 1}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Étape 12.2.2.5.2

Soustrayez $1$ de $9$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1^{- 1})))$

Étape 12.2.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1 \cdot 1)))$

Étape 12.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - (1 - 1)))$

Étape 12.2.2.8

Soustrayez $1$ de $1$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} - 0))$

Étape 12.2.2.9

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3} + 0))$

Étape 12.2.2.10

Additionnez $\frac{8}{3}$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (4 (\frac{8}{3}))$

Étape 12.2.2.11

Associez $4$ et $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{4 \cdot 8}{3})$

Étape 12.2.2.12

Multipliez $4$ par $8$ .

$A (x) = \frac{1}{3 - 1} (\frac{32}{3})$

Étape 13

Soustrayez $1$ de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{3}$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $32$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (16)}{3}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 16}{3}$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{16}{3}$

Étape 15