Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x + 5$ , $[- 1, 11]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 1, 11]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} - 4 x + 5 d x)$

Étape 5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (\int_{- 1}^{11} 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Étape 6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \int_{- 1}^{11} x^{2} d x + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} - 4 x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Étape 9

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 \int_{- 1}^{11} x d x + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Étape 10

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Étape 11

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + \int_{- 1}^{11} 5 d x)$

Étape 12

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{11}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

Étape 13

Remplacez et simplifiez.

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Étape 13.1

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $11$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 ((\frac{11^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{11}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

Étape 13.2

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $11$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 x]_{- 1}^{11})$

Étape 13.3

Évaluez $5 x$ sur $11$ et sur $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{11^{3}}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4

Simplifiez

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Étape 13.4.1

Élevez $11$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} - \frac{- 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + 1 (\frac{1}{3})) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.5

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331}{3} + \frac{1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1331 + 1}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.7

Additionnez $1331$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{1332}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8

Annulez le facteur commun à $1332$ et $3$ .

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Étape 13.4.8.1

Factorisez $3$ à partir de $1332$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.8.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 (1)}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{3 \cdot 444}{3 \cdot 1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 (\frac{444}{1}) - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.8.2.4

Divisez $444$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (2 \cdot 444 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.9

Multipliez $2$ par $444$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{11^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.10

Élevez $11$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.11

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{121}{2} - \frac{1}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.12

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{121 - 1}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.13

Soustrayez $1$ de $121$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{120}{2}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.14

Annulez le facteur commun à $120$ et $2$ .

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Étape 13.4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $120$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.14.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.4.14.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 (1)} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.14.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \frac{2 \cdot 60}{2 \cdot 1} + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.14.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 (\frac{60}{1}) + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.14.2.4

Divisez $60$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 4 \cdot 60 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.15

Multipliez $- 4$ par $60$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (888 - 240 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.16

Soustrayez $240$ de $888$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 5 \cdot 11 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.17

Multipliez $5$ par $11$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 - 5 \cdot - 1)$

Étape 13.4.18

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 55 + 5)$

Étape 13.4.19

Additionnez $55$ et $5$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (648 + 60)$

Étape 13.4.20

Additionnez $648$ et $60$ .

$A (x) = \frac{1}{11 + 1} (708)$

Étape 14

Additionnez $11$ et $1$ .

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot 708$

Étape 15

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 15.1

Factorisez $12$ à partir de $708$ .

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 (59))$

Étape 15.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 59)$

Étape 15.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = 59$

Étape 16