Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 1 x^{3} - 1 x^{2} + 4$ , $[- 2, 0]$

Étape 1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[- 2, 0]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} 1 x^{3} - 1 x^{2} + 4 d x)$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} - 1 x^{2} + 4 d x)$

Étape 5.2

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} - x^{2} + 4 d x)$

Étape 6

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\int_{- 2}^{0} x^{3} d x + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} + \int_{- 2}^{0} - x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Étape 8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - \int_{- 2}^{0} x^{2} d x + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Étape 10

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + \int_{- 2}^{0} 4 d x)$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}) + 4 x]_{- 2}^{0})$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{4} x^{4}]_{- 2}^{0}$ et $4 x]_{- 2}^{0}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} x^{4} + 4 x]_{- 2}^{0} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}))$

Étape 12.2

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.2.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4} + 4 x$ sur $0$ et sur $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{0}))$

Étape 12.2.2

Évaluez $\frac{x^{3}}{3}$ sur $0$ et sur $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} ((\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + 4 \cdot 0) - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3

Simplifiez

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Étape 12.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{1}{4} \cdot 0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 \cdot 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.5

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{1}{4} \cdot 16 + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.6

Associez $\frac{1}{4}$ et $16$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{16}{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.7

Annulez le facteur commun à $16$ et $4$ .

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Étape 12.2.3.7.1

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.7.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (\frac{4}{1} + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.7.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (4 + 4 \cdot - 2) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.8

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 - (4 - 8) - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.9

Soustrayez $8$ de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.10

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (0 + 4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.11

Additionnez $0$ et $4$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.12

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{0}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.13

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 12.2.3.13.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 (0)}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.2.3.13.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (\frac{0}{1} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.13.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Étape 12.2.3.14

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 - \frac{- 8}{3}))$

Étape 12.2.3.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + \frac{8}{3}))$

Étape 12.2.3.16

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + 1 (\frac{8}{3})))$

Étape 12.2.3.17

Multipliez $\frac{8}{3}$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - (0 + \frac{8}{3}))$

Étape 12.2.3.18

Additionnez $0$ et $\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 - \frac{8}{3})$

Étape 12.2.3.19

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{8}{3})$

Étape 12.2.3.20

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3})$

Étape 12.2.3.21

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4 \cdot 3 - 8}{3})$

Étape 12.2.3.22

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.2.3.22.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{12 - 8}{3})$

Étape 12.2.3.22.2

Soustrayez $8$ de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{0 + 2} (\frac{4}{3})$

Étape 13

Additionnez $0$ et $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}$

Étape 14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 14.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (2)}{3}$

Étape 14.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 2}{3}$

Étape 14.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{2}{3}$

Étape 15